ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите объём конуса, высота которого равна 4 см, а угол между образующей и плоскостью основания равен 30°.

Угол между образующей и плоскостью основания равен \(30^\circ\). Тогда \(\tan 30^\circ = \frac{h}{r}\).

Подставляем \(h = 4\):

\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{r}\) => \(r = 4 \sqrt{3}\).

Объем конуса вычисляется по формуле:

\(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (4 \sqrt{3})^2 \cdot 4 = \frac{1}{3} \pi \cdot 48 \cdot 4 = 64 \pi\).

Ответ: \(64 \pi\) см³.

Для нахождения объема конуса сначала нужно определить радиус основания. Из условия известно, что угол между образующей и плоскостью основания равен \(30^\circ\), а высота конуса \(h = 4\) см. Образующая, высота и радиус основания связаны между собой, образуя прямоугольный треугольник, где высота — это катет, радиус — другой катет, а образующая — гипотенуза. Угол между образующей и основанием — это угол при основании. Используем тангенс этого угла: \(\tan 30^\circ = \frac{h}{r}\).

Подставляем известные значения: \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\), высота \(h = 4\). Тогда уравнение принимает вид \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{r}\). Решаем его относительно радиуса \(r\), умножая обе части на \(r\) и затем на \(\sqrt{3}\): \(r = 4 \sqrt{3}\) см. Таким образом, мы нашли радиус основания конуса.

Теперь можно вычислить объем конуса по формуле \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\). Подставляем найденный радиус и высоту: \(V = \frac{1}{3} \pi (4 \sqrt{3})^{2} \cdot 4\). Возводим в квадрат радиус: \((4 \sqrt{3})^{2} = 16 \cdot 3 = 48\). Получаем \(V = \frac{1}{3} \pi \cdot 48 \cdot 4\). Умножаем: \(48 \cdot 4 = 192\), делим на 3: \(\frac{192}{3} = 64\). Итоговый объем равен \(64 \pi\) кубических сантиметров.