ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из углов – 60°. Найдите объём тела, полученного в результате вращения данного треугольника вокруг прямой, содержащей катет, прилежащий к данному углу.

Дано: гипотенуза \(AB = 10\) см, угол \( \angle B = 60^\circ \).

Найдем катеты треугольника \( \triangle ABC \):

\( \sin 60^\circ = \frac{AC}{10} \Rightarrow AC = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см

\( \cos 60^\circ = \frac{BC}{10} \Rightarrow BC = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \) см

Тело вращается вокруг катета \(BC\), который равен 5 см.

Объем тела вращения (конуса) вычисляется по формуле:

\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \),

где \(r = AC = 5\sqrt{3}\), \(h = BC = 5\).

Подставляем:

\( V = \frac{1}{3} \pi (5\sqrt{3})^2 \cdot 5 = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 3 \cdot 5 = 125 \pi \) см³.

В треугольнике \( \triangle ABC \) дана гипотенуза \( AB = 10 \) см и угол при вершине \( B \), равный \( 60^\circ \). Для начала найдем длины катетов \( AC \) и \( BC \), используя тригонометрические функции синуса и косинуса. По определению синуса угла в прямоугольном треугольнике, синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Значит, \( \sin 60^\circ = \frac{AC}{10} \). Подставляя значение \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), получаем уравнение \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AC}{10} \), откуда \( AC = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3} \) см. Это длина катета, лежащего напротив угла \( 60^\circ \).

Далее найдем второй катет \( BC \), который прилежит к углу \( 60^\circ \). Для этого используем косинус угла: \( \cos 60^\circ = \frac{BC}{10} \). Известно, что \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), значит \( \frac{1}{2} = \frac{BC}{10} \), и отсюда \( BC = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \) см. Таким образом, катеты треугольника равны \( AC = 5 \sqrt{3} \) см и \( BC = 5 \) см.

Теперь рассмотрим тело, которое образуется при вращении данного треугольника вокруг прямой, содержащей катет \( BC \). При вращении вокруг этого катета образуется конус, где высота равна \( BC = 5 \) см, а радиус основания равен \( AC = 5 \sqrt{3} \) см. Объем конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \). Подставляем найденные значения: \( r = 5 \sqrt{3} \), \( h = 5 \), тогда \( V = \frac{1}{3} \pi (5 \sqrt{3})^2 \cdot 5 = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 3 \cdot 5 = 125 \pi \) см³. Это и есть объем тела вращения, полученного из исходного треугольника.