ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а один из катетов – 5 см. Найдите объём тела, полученного в результате вращения этого треугольника вокруг прямой, содержащей данный катет.

Гипотенуза треугольника равна 13 см, катет, вокруг которого вращаем, равен 5 см, другой катет по теореме Пифагора: \( \sqrt{13^2 — 5^2} = \sqrt{169 — 25} = \sqrt{144} = 12 \) см.

Объём тела вращения равен объёму конуса с высотой 5 см и радиусом основания 12 см:

\( V = \frac{\pi r^2 h}{3} = \frac{\pi \cdot 12^2 \cdot 5}{3} = \frac{\pi \cdot 144 \cdot 5}{3} = 240 \pi \, \text{см}^3 \).

Дано прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и одним катетом 5 см. Для начала найдем длину второго катета, используя теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Запишем это как \( a^2 + b^2 = c^2 \), где \( c = 13 \) см — гипотенуза, а \( a = 5 \) см — известный катет. Тогда второй катет \( b \) вычисляется по формуле \( b = \sqrt{c^2 — a^2} = \sqrt{13^2 — 5^2} = \sqrt{169 — 25} = \sqrt{144} = 12 \) см.

Далее рассматриваем тело, которое получается при вращении треугольника вокруг прямой, содержащей катет длиной 5 см. При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов образуется конус, где высота конуса равна длине катета, вокруг которого происходит вращение, а радиус основания равен длине второго катета. В нашем случае высота конуса \( h = 5 \) см, радиус основания \( r = 12 \) см.

Объем конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{\pi r^2 h}{3} \). Подставим значения: \( V = \frac{\pi \cdot 12^2 \cdot 5}{3} = \frac{\pi \cdot 144 \cdot 5}{3} \). Считаем числовую часть: \( \frac{144 \cdot 5}{3} = \frac{720}{3} = 240 \). Таким образом, объем тела вращения равен \( V = 240 \pi \) кубических сантиметров.