ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите объём усечённого конуса, радиусы оснований которого равны 1 см и 3 см, а образующая равна \(\frac{2}{5}\) см.

Обозначим радиусы оснований: \( R = 8 \) см, \( r = 14 \) см. Угол между образующей и плоскостью большего основания \( \alpha = 45^\circ \).

1. Найдём высоту усечённого конуса \( H \). Рассмотрим треугольник, образованный образующей, высотой и разностью радиусов оснований:

\( \tan 45^\circ = \frac{H}{r — R} \Rightarrow H = (r — R) \tan 45^\circ = (14 — 8) \cdot 1 = 6 \) см.

2. Найдём объём усечённого конуса по формуле:

\( V = \frac{\pi H}{3} (R^2 + Rr + r^2) = \frac{\pi \cdot 6}{3} (8^2 + 8 \cdot 14 + 14^2) = 2\pi (64 + 112 + 196) =\)
\(= 2\pi \cdot 372 = 744\pi \) см³.

Ответ: \( V = 744\pi \) см³.

Рассмотрим усечённый конус с радиусами оснований \( R = 8 \) см и \( r = 14 \) см. Из условия известно, что угол между образующей конуса и плоскостью большего основания равен \( 45^\circ \). Чтобы найти объём усечённого конуса, сначала необходимо определить его высоту \( H \). Для этого рассмотрим треугольник, образованный высотой, разностью радиусов оснований и образующей. Поскольку угол между образующей и плоскостью основания \( 45^\circ \), то тангенс этого угла равен отношению высоты к разности радиусов: \( \tan 45^\circ = \frac{H}{r — R} \).

Так как \( \tan 45^\circ = 1 \), получаем уравнение \( H = r — R \). Подставляя значения радиусов, найдём высоту: \( H = 14 — 8 = 6 \) см. Таким образом, высота усечённого конуса равна 6 см. Этот шаг важен, так как высота необходима для вычисления объёма по формуле усечённого конуса.

Объём усечённого конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{\pi H}{3} (R^2 + Rr + r^2) \). Подставим известные значения: \( V = \frac{\pi \cdot 6}{3} (8^2 + 8 \cdot 14 + 14^2) \). Сначала вычислим квадраты и произведение: \( 8^2 = 64 \), \( 8 \cdot 14 = 112 \), \( 14^2 = 196 \). Складываем: \( 64 + 112 + 196 = 372 \). Теперь подставляем в формулу: \( V = 2\pi \cdot 372 = 744\pi \) см³. Это и есть объём усечённого конуса с заданными параметрами.