ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.17 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите объём усечённого конуса, радиусы оснований которого равны 1 см и 3 см, а образующая равна \(\frac{2}{5}\) см.

Объём усечённого конуса вычисляется по формуле
\( V = \frac{\pi h}{3} (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2) \).

Дано:
\( r_1 = 1 \), \( r_2 = 3 \), образующая \( l = \frac{2}{5} \).

Найдём высоту \( h \) по теореме Пифагора:
\( h = \sqrt{l^2 — (r_2 — r_1)^2} = \sqrt{\left(\frac{2}{5}\right)^2 — (3 — 1)^2} = \sqrt{\frac{4}{25} — 4} \).

Так как подкоренное выражение отрицательно, вероятно, ошибка в условии или в интерпретации образующей.

Если взять \( h = 4 \) (как в решении на фото), тогда подставим:
\( V = \frac{\pi \cdot 4}{3} (1^2 + 1 \cdot 3 + 3^2) = \frac{4 \pi}{3} (1 + 3 + 9) = \frac{4 \pi}{3} \cdot 13 = \frac{52 \pi}{3} \).

Ответ:
\( V = \frac{52 \pi}{3} \) см³.

Для нахождения объёма усечённого конуса используется формула
\( V = \frac{\pi h}{3} (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2) \),
где \( r_1 \) и \( r_2 \) — радиусы оснований, а \( h \) — высота усечённого конуса. В условии даны радиусы оснований: \( r_1 = 1 \) см и \( r_2 = 3 \) см. Образующая усечённого конуса — это наклонный отрезок боковой поверхности, равный \( l = \frac{2}{5} \) см. Для вычисления объёма сначала нужно найти высоту \( h \), используя связь между высотой, радиусами и образующей.

Высота \( h \) связана с образующей и разностью радиусов по теореме Пифагора:
\( h = \sqrt{l^2 — (r_2 — r_1)^2} \).
Подставим значения:
\( h = \sqrt{\left(\frac{2}{5}\right)^2 — (3 — 1)^2} = \sqrt{\frac{4}{25} — 4} \).
Здесь подкоренное выражение отрицательно, что невозможно в реальных условиях. В решении на фото вместо высоты взято \( h = 4 \) см, вероятно, это значение дано или рассчитано отдельно.

Подставим \( h = 4 \) см в формулу объёма:
\( V = \frac{\pi \cdot 4}{3} (1^2 + 1 \cdot 3 + 3^2) = \frac{4 \pi}{3} (1 + 3 + 9) = \frac{4 \pi}{3} \cdot 13 = \frac{52 \pi}{3} \) см³.
Таким образом, объём усечённого конуса равен \( \frac{52 \pi}{3} \) кубических сантиметров.