ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что объёмы двух шаров относятся как кубы их радиусов.

Объем шара \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\).

Отношение объемов двух шаров с радиусами \(r_1\) и \(r_2\):

\[
\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3
\]

Таким образом, объемы двух шаров относятся как кубы их радиусов.

Объем шара вычисляется по формуле \(V = \frac{4}{3} \pi r^{3}\), где \(r\) — радиус шара. Эта формула показывает, что объем зависит от куба радиуса, умноженного на постоянный множитель \(\frac{4}{3} \pi\). Это значит, что при изменении радиуса объем изменяется не линейно, а в третьей степени.

Рассмотрим два шара с радиусами \(r_1\) и \(r_2\) и объемами \(V_1\) и \(V_2\) соответственно. Подставим их в формулу объема: \(V_1 = \frac{4}{3} \pi r_1^{3}\) и \(V_2 = \frac{4}{3} \pi r_2^{3}\). Чтобы найти отношение объемов этих шаров, нужно разделить \(V_1\) на \(V_2\):

\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^{3}}{\frac{4}{3} \pi r_2^{3}}\).

Так как множители \(\frac{4}{3} \pi\) одинаковы в числителе и знаменателе, они сокращаются, и остается:

\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^{3}}{r_2^{3}}\).

Это выражение можно переписать как куб отношения радиусов:

\(\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{3}\).

Таким образом, объемы двух шаров относятся как кубы их радиусов, что доказывает искомое утверждение.