ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Во сколько раз надо увеличить радиус шара, чтобы его объём увеличился в 5 раз?

Объём шара рассчитывается по формуле:

\[
V = \frac{4}{3} \pi r^3,
\]

где \(r\) — радиус шара.

Если объём увеличивается в 5 раз, то:

\[
V_{\text{новый}} = 5V = \frac{4}{3} \pi r_{\text{новый}}^3.
\]

Подставим:

\[
5 \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi r_{\text{новый}}^3.
\]

Сократим одинаковые множители:

\[
5 r^3 = r_{\text{новый}}^3.
\]

Тогда

\[
r_{\text{новый}} = \sqrt[3]{5} \cdot r.
\]

Ответ: радиус нужно увеличить в \(\sqrt[3]{5}\) раз, то есть приблизительно в 1.71 раза.

Объём шара определяется формулой \( V = \frac{4}{3} \pi r^{3} \), где \( r \) — радиус шара. Эта формула показывает, что объём зависит от куба радиуса, то есть если радиус увеличивается, объём меняется пропорционально третьей степени этого изменения. Важно понять, что изменение радиуса приводит к гораздо более значительному изменению объёма, поскольку объём — это функция куба радиуса.

Если требуется увеличить объём шара в 5 раз, это значит, что новый объём \( V_{\text{новый}} \) будет равен \( 5V \), где \( V \) — исходный объём. Подставляя формулу объёма, получаем уравнение \( V_{\text{новый}} = \frac{4}{3} \pi r_{\text{новый}}^{3} \), где \( r_{\text{новый}} \) — новый радиус. Приравнивая два выражения для объёма, имеем \( 5 \cdot \frac{4}{3} \pi r^{3} = \frac{4}{3} \pi r_{\text{новый}}^{3} \). Сокращая одинаковые множители, получаем уравнение \( 5 r^{3} = r_{\text{новый}}^{3} \).

Чтобы найти во сколько раз нужно увеличить радиус, нужно извлечь кубический корень из обеих частей уравнения: \( r_{\text{новый}} = \sqrt[3]{5} \cdot r \). Значение кубического корня из 5 примерно равно 1.71, то есть радиус нужно увеличить примерно в 1.71 раза, чтобы объём шара увеличился ровно в 5 раз. Это иллюстрирует, насколько чувствителен объём к изменению радиуса из-за кубической зависимости.