ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Объёмы двух шаров относятся как 8 : 125. Найдите отношение их радиусов.

Объемы шаров связаны формулой \( \frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 \).

Дано: \( \frac{V_1}{V_2} = \frac{8}{125} \).

Тогда

\(\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \frac{8}{125} = \left(\frac{2}{5}\right)^3\).

Следовательно,

\( \frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{5} \).

Объем шара вычисляется по формуле \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \), где \( r \) — радиус шара. Если даны два шара с объемами \( V_1 \) и \( V_2 \) и радиусами \( r_1 \) и \( r_2 \) соответственно, то отношение их объемов можно записать как \( \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} \). Так как множители \( \frac{4}{3} \pi \) сокращаются, остается равенство \( \frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3} \), то есть отношение объемов равно отношению кубов радиусов.

В условии задачи дано, что отношение объемов двух шаров равно \( \frac{8}{125} \). Это можно записать как \( \frac{V_1}{V_2} = \frac{8}{125} \). Подставляя это в формулу для отношения объемов, получаем \( \frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{8}{125} \). Чтобы найти отношение радиусов, нужно извлечь кубический корень из обеих частей равенства. Кубический корень из \( \frac{r_1^3}{r_2^3} \) равен \( \frac{r_1}{r_2} \), а кубический корень из \( \frac{8}{125} \) равен \( \frac{2}{5} \), так как \( 8 = 2^3 \) и \( 125 = 5^3 \).

Таким образом, отношение радиусов двух шаров равно \( \frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{5} \). Это значит, что радиус первого шара в \( \frac{2}{5} \) раза меньше радиуса второго, если объемы соотносятся как \( 8 : 125 \). Такой результат соответствует физическому смыслу задачи, так как объем пропорционален кубу радиуса, и изменение радиуса в определенное число раз приводит к изменению объема в куб этой величины.