ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите объём шара, описанного около куба, ребро которого равно \(a\).

Радиус описанной сферы равен половине диагонали куба: \( R = \frac{d}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{3a^2} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \).

Объём шара вычисляется по формуле:
\( V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{4}{3} \pi \frac{a^3 \cdot 3 \sqrt{3}}{8} = \frac{\pi a^3 \sqrt{3}}{2} \).

Рассмотрим куб с ребром длины \(a\). Чтобы найти объём шара, описанного около этого куба, сначала нужно определить радиус этого шара. Поскольку шар описан около куба, его радиус равен половине длины диагонали куба. Диагональ куба можно найти по формуле для диагонали куба: \(d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a \sqrt{3}\).

Далее радиус шара равен половине этой диагонали, то есть \(R = \frac{d}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{2}\). Это важно, потому что радиус шара необходим для вычисления его объёма. Объём шара вычисляется по формуле \(V = \frac{4}{3} \pi R^3\). Подставим найденный радиус в формулу объёма: \(V = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^3\).

Теперь возьмём куб радиуса: \(\left(\frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{a^3 (\sqrt{3})^3}{2^3} = \frac{a^3 \cdot 3 \sqrt{3}}{8}\). Подставляем это обратно в формулу объёма: \(V = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{a^3 \cdot 3 \sqrt{3}}{8} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{8} \pi a^3 \sqrt{3} = \frac{\pi a^3 \sqrt{3}}{2}\). Таким образом, объём шара, описанного около куба с ребром \(a\), равен \(V = \frac{\pi a^3 \sqrt{3}}{2}\).