ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.23 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите объём шара, вписанного в куб, ребро которого равно \(a\).

Радиус шара, вписанного в куб, равен половине ребра куба: \( R = \frac{a}{2} \).

Объём шара вычисляется по формуле: \( V = \frac{4}{3} \pi R^3 \).

Подставляем \( R = \frac{a}{2} \):
\( V = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{4}{3} \pi \frac{a^3}{8} = \frac{\pi a^3}{6} \).

Рассмотрим куб с ребром длины \( a \). Вписанный шар касается всех граней куба внутри, значит его диаметр равен длине ребра куба. Следовательно, радиус шара будет равен половине ребра куба, то есть \( R = \frac{a}{2} \).

Объём шара вычисляется по формуле \( V = \frac{4}{3} \pi R^3 \). Подставим в эту формулу радиус \( R = \frac{a}{2} \). Получим \( V = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^3 \). Возводя дробь в третью степень, получаем \( \left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{a^3}{2^3} = \frac{a^3}{8} \).

Теперь подставим это обратно в формулу объёма: \( V = \frac{4}{3} \pi \frac{a^3}{8} \). Умножая числители и знаменатели, получаем \( V = \frac{4 \pi a^3}{3 \cdot 8} = \frac{4 \pi a^3}{24} \). Сокращая дробь, получаем окончательный ответ: \( V = \frac{\pi a^3}{6} \).