ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.26 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В нижнем основании цилиндра проведена хорда, стягивающая дугу, градусная мера которой равна \(\alpha\), \(0^\circ < \alpha < 180^\circ\). Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой данной хорды, образует с плоскостью основания угол \(\beta\). Найдите объём цилиндра, если его образующая равна \(t\).

Рассчитаем радиус основания цилиндра \(R\) через образующую \(m\) и углы \(\alpha\) и \(\beta\). По теореме Пифагора \(m^2 = h^2 + R^2\), где высота \(h = R \cos \frac{\alpha}{2} \tan \beta\). Подставляем и получаем \(m^2 = R^2 (1 + \cos^2 \frac{\alpha}{2} \tan^2 \beta)\), отсюда \(R = \frac{m}{\sqrt{1 + \cos^2 \frac{\alpha}{2} \tan^2 \beta}}\).

Высота цилиндра равна \(h = R \cos \frac{\alpha}{2} \tan \beta = \frac{m \cos \frac{\alpha}{2} \tan \beta}{\sqrt{1 + \cos^2 \frac{\alpha}{2} \tan^2 \beta}}\).

Объем цилиндра вычисляем по формуле \(V = \pi R^2 h\). Подставляя значения, получаем

\(V = \pi \left(\frac{m}{\sqrt{1 + \cos^2 \frac{\alpha}{2} \tan^2 \beta}}\right)^2 \cdot \frac{m \cos \frac{\alpha}{2} \tan \beta}{\sqrt{1 + \cos^2 \frac{\alpha}{2} \tan^2 \beta}} = \pi m^3 \frac{\cos \frac{\alpha}{2} \tan \beta}{\left(1 + \cos^2 \frac{\alpha}{2} \tan^2 \beta\right)^{3/2}}\).

Используя тригонометрические преобразования, окончательная формула объема:

\(V = \pi m^3 \frac{\cot^2 \beta}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}\).

Рассмотрим цилиндр с радиусом основания \(R\) и высотой \(h\). В основании цилиндра есть дуга с градусной мерой \(\alpha\), которую стягивает хорда. Длина этой хорды равна \(2R \sin \frac{\alpha}{2}\), где \(R\) — радиус основания. Средняя точка хорды находится на расстоянии \(R \cos \frac{\alpha}{2}\) от центра основания, так как хорда делится пополам, и расстояние от центра к середине хорды — это проекция радиуса на ось хорды.

Угол \(\beta\) образован отрезком, соединяющим центр верхнего основания цилиндра с серединой хорды, и плоскостью основания. Этот угол можно рассматривать как угол наклона линии, проходящей от центра верхнего основания к середине хорды, относительно основания. По определению тангенса угла \(\beta\) имеем отношение высоты цилиндра \(h\) к горизонтальному расстоянию от центра основания до середины хорды, то есть \(\tan \beta = \frac{h}{R \cos \frac{\alpha}{2}}\). Отсюда высота цилиндра выражается как \(h = R \cos \frac{\alpha}{2} \tan \beta\).

Образующая цилиндра \(m\) — это наклонная линия, соединяющая точку на окружности основания с соответствующей точкой на верхнем основании. По теореме Пифагора \(m^2 = h^2 + R^2\). Подставляя выражение для высоты \(h\), получаем \(m^2 = R^2 + R^2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} \tan^2 \beta = R^2 (1 + \cos^2 \frac{\alpha}{2} \tan^2 \beta)\). Отсюда радиус основания равен \(R = \frac{m}{\sqrt{1 + \cos^2 \frac{\alpha}{2} \tan^2 \beta}}\).

Высота цилиндра теперь можно выразить через \(m\) и углы: \(h = \frac{m \cos \frac{\alpha}{2} \tan \beta}{\sqrt{1 + \cos^2 \frac{\alpha}{2} \tan^2 \beta}}\).

Объем цилиндра вычисляется по формуле \(V = \pi R^2 h\). Подставляя найденные выражения для \(R\) и \(h\), получаем

\(V = \pi \left(\frac{m}{\sqrt{1 + \cos^2 \frac{\alpha}{2} \tan^2 \beta}}\right)^2 \cdot \frac{m \cos \frac{\alpha}{2} \tan \beta}{\sqrt{1 + \cos^2 \frac{\alpha}{2} \tan^2 \beta}}\).

Упрощая, получаем

\(V = \pi m^3 \frac{\cos \frac{\alpha}{2} \tan \beta}{(1 + \cos^2 \frac{\alpha}{2} \tan^2 \beta)^{3/2}}\).

Используя тригонометрическую формулу для котангенса, конечная формула объема принимает вид

\(V = \pi m^3 \frac{\cot^2 \beta}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}\).