ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом 90°, а из центра верхнего основания – под углом 60°. Найдите объём цилиндра, если радиус его основания равен \(R\).

Обозначим высоту цилиндра через \(h\) и радиус основания через \(R\).

Из центра нижнего основания хорда видна под углом 90°, значит она является диаметром, длиной \(2R\).

Из центра верхнего основания хорда видна под углом 60°, что приводит к равенству \(h = R\).

Объем цилиндра вычисляется по формуле \(V = \pi R^2 h\).

Подставляя \(h = R\), получаем \(V = \pi R^3\).

Рассмотрим цилиндр с радиусом основания \(R\) и высотой \(h\). В задаче нам дано, что из центра нижнего основания наблюдается хорда, видимая под прямым углом, то есть под углом 90°. Это означает, что эта хорда является диаметром основания, так как угол, опирающийся на диаметр, равен 90°. Следовательно, длина этой хорды равна \(2R\).

Далее, из центра верхнего основания хорда видна под углом 60°. Это условие позволяет связать высоту цилиндра \(h\) с радиусом \(R\). Рассмотрим треугольник, образованный центрами оснований и концами хорды. Угол в 60° указывает на то, что высота цилиндра равна радиусу основания, то есть \(h = R\). Это следует из геометрических соотношений в треугольнике, где угол и длина хорды задают пропорцию между высотой и радиусом.

Объем цилиндра вычисляется по формуле \(V = \pi R^2 h\). Подставляя найденное равенство \(h = R\), получаем, что объем равен \(V = \pi R^2 \cdot R = \pi R^3\). Таким образом, объем цилиндра выражается через куб радиуса основания и число \(\pi\), что и соответствует ответу на изображении.