ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.28 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Параллельно оси цилиндра проведено сечение, расстояние от плоскости которого до оси цилиндра равно 12 см. Диагональ сечения равна \(10\sqrt{5}\) см, а радиус основания цилиндра – 13 см. Найдите объём цилиндра.

Обозначим радиус основания цилиндра \(r = 13\) см.

Высота сечения, параллельного оси цилиндра, находится на расстоянии 12 см от оси. Пусть высота цилиндра \(h\).

Диагональ сечения равна \(10\sqrt{5}\) см. Сечение — прямоугольник с одной стороной равной высоте цилиндра \(h\), а другой — длине хорды, отстоящей от центра на 12 см.

Длина хорды: \(2\sqrt{r^2 — d^2} = 2\sqrt{13^2 — 12^2} = 2\sqrt{169 — 144} = 2\sqrt{25} = 10\).

Диагональ сечения — это гипотенуза прямоугольника со сторонами 10 и \(h\):

\( (10\sqrt{5})^2 = 10^2 + h^2 \)

\( 100 \cdot 5 = 100 + h^2 \)

\( 500 = 100 + h^2 \)

\( h^2 = 400 \)

\( h = 20 \) см.

Объём цилиндра:

\( V = \pi r^2 h = \pi \cdot 13^2 \cdot 20 = 3380 \pi \, \text{см}^3 \).

Ответ: \( V = 3380 \pi \, \text{см}^3 \).

Рассмотрим цилиндр с радиусом основания \(r = 13\) см. В задаче дано, что параллельно оси цилиндра проведено сечение, расстояние от плоскости сечения до оси цилиндра равно 12 см. Это значит, что сечение представляет собой прямоугольник, одна сторона которого — высота цилиндра \(h\), а другая сторона — хорда основания цилиндра, отстоящая от центра основания на 12 см.

Для нахождения длины хорды нужно использовать геометрические свойства круга. Расстояние от центра круга до хорды равно 12 см, а радиус круга равен 13 см. По теореме Пифагора длина половины хорды будет равна \(\sqrt{r^2 — d^2} = \sqrt{13^2 — 12^2} = \sqrt{169 — 144} = \sqrt{25} = 5\) см. Следовательно, вся хорда равна \(2 \times 5 = 10\) см.

Далее, известно, что диагональ сечения равна \(10\sqrt{5}\) см. Поскольку сечение — прямоугольник, диагональ \(d\) связана с его сторонами по формуле Пифагора: \(d^2 = a^2 + b^2\), где \(a = 10\) см — длина хорды, а \(b = h\) — высота цилиндра. Подставляем значения: \((10\sqrt{5})^2 = 10^2 + h^2\). Это даёт \(100 \times 5 = 100 + h^2\), или \(500 = 100 + h^2\). Отсюда \(h^2 = 400\), значит \(h = 20\) см.

Теперь, зная радиус основания и высоту цилиндра, можно найти объём цилиндра по формуле \(V = \pi r^2 h\). Подставляем значения: \(V = \pi \times 13^2 \times 20 = \pi \times 169 \times 20 = 3380 \pi\) кубических сантиметров.

Ответ: объём цилиндра равен \(V = 3380 \pi\) см³.