ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.29 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу, градусная мера которой равна \(\alpha\), \(0^\circ < \alpha < 180^\circ\). Диагональ полученного сечения составляет с осью цилиндра угол \(\beta\) и удалена от неё на расстояние, равное \(d\). Найдите объём цилиндра.

Обозначим радиус основания цилиндра через \(r\), высоту через \(h\).

Из условия:

1. Угол дуги основания \(\alpha\) связан с длиной дуги: длина дуги равна \(r \alpha\) (в радианах).

2. Диагональ сечения образует с осью цилиндра угол \(\beta\), а расстояние от оси до диагонали равно \(d\).

Объём цилиндра вычисляется по формуле \(V = \pi r^2 h\).

По геометрии сечения и данным параметрам:

— Радиус \(r = d / \cos(\alpha/2)\)

— Высота \(h = 2 d \tan \beta \tan \alpha/2\)

Подставляя в формулу объёма:

\(V = \pi \left(\frac{d}{\cos(\alpha/2)}\right)^2 \cdot 2 d \tan \beta \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{2 \pi d^3 \tan \beta \tan \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}\)

Пусть радиус основания цилиндра равен \(r\), а высота цилиндра — \(h\). Объём цилиндра вычисляется по формуле \(V = \pi r^2 h\). Для нахождения объёма необходимо выразить \(r\) и \(h\) через заданные параметры \(\alpha\), \(\beta\) и \(d\).

Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности дугу с углом \(\alpha\). Это означает, что длина дуги на основании равна \(r \alpha\) (если угол в радианах). Диагональ сечения образует с осью цилиндра угол \(\beta\) и находится на расстоянии \(d\) от оси. Расстояние \(d\) — это перпендикуляр от оси цилиндра до диагонали сечения. Так как плоскость параллельна оси, то расстояние \(d\) связано с радиусом и углом \(\alpha\) через тригонометрическую зависимость: \(r = \frac{d}{\cos \frac{\alpha}{2}}\). Это следует из того, что диагональ проходит на расстоянии \(d\) от оси, а угол дуги \(\alpha\) делит основание на два равных угла по \(\frac{\alpha}{2}\).

Высота сечения связана с углом \(\beta\) и расстоянием \(d\). Диагональ сечения образует угол \(\beta\) с осью, значит высота сечения \(h\) определяется как длина диагонали, умноженная на \(\tan \beta\). Длина диагонали равна \(2 d \tan \frac{\alpha}{2}\), так как диагональ проходит через дугу с углом \(\alpha\). Следовательно, высота \(h = 2 d \tan \beta \tan \frac{\alpha}{2}\).

Подставляя выражения для \(r\) и \(h\) в формулу объёма, получаем:

\(V = \pi \left(\frac{d}{\cos \frac{\alpha}{2}}\right)^2 \cdot 2 d \tan \beta \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{2 \pi d^3 \tan \beta \tan \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}\).