ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.30 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Угол в осевом сечении конуса при его вершине равен \(\alpha\), а расстояние от центра основания конуса до образующей равно \(t\). Найдите объём конуса.

Угол при вершине конуса в осевом сечении равен \(\alpha\), а расстояние от центра основания до образующей равно \(m\). В осевом сечении образующая \(l\) связана с \(m\) через угол \(\frac{\alpha}{2}\) по формуле \(l = \frac{m}{\cos \frac{\alpha}{2}}\). Радиус основания конуса равен \(R = l \sin \frac{\alpha}{2} = m \tan \frac{\alpha}{2}\), а высота конуса равна \(h = m\).

Объём конуса вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} \pi R^{2} h\). Подставляя выражения для \(R\) и \(h\), получаем \(V = \frac{\pi m^{3} \tan^{2} \frac{\alpha}{2}}{3}\). Используя тождество \(\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}\), объём запишется как \(V = \frac{\pi m^{3} \sin^{2} \frac{\alpha}{2}}{3 \cos^{2} \frac{\alpha}{2}}\).

1. Рассмотрим конус с углом при вершине в осевом сечении, равным \(\alpha\). Половина этого угла равна \(\frac{\alpha}{2}\). В осевом сечении конуса образующая \(l\) образует с осью конуса угол \(\frac{\alpha}{2}\). Высота конуса \(h\) — это расстояние от вершины до центра основания, а радиус основания равен \(R\). Из треугольника в осевом сечении следует, что радиус основания и высота связаны с углом \(\frac{\alpha}{2}\) через тангенс: \( \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{R}{h} \).

2. Дано расстояние \(t\) от центра основания до образующей. Это перпендикулярное расстояние от центра круга основания до прямой, задающей боковую поверхность конуса. В осевом сечении это проекция образующей на перпендикуляр к оси. Образующая \(l\) связана с этим расстоянием через косинус угла \(\frac{\alpha}{2}\): \( t = l \cos \frac{\alpha}{2} \), отсюда \( l = \frac{t}{\cos \frac{\alpha}{2}} \). Высота конуса равна проекции образующей на ось: \( h = l \cos \frac{\alpha}{2} = t \).

3. Радиус основания \(R\) равен проекции образующей на перпендикуляр к оси, то есть \( R = l \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{t}{\cos \frac{\alpha}{2}} \sin \frac{\alpha}{2} = t \tan \frac{\alpha}{2} \).

4. Объём конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} \pi R^{2} h \). Подставим выражения для \(R\) и \(h\):

\( V = \frac{1}{3} \pi (t \tan \frac{\alpha}{2})^{2} t = \frac{\pi t^{3} \tan^{2} \frac{\alpha}{2}}{3} \).

5. Используя тригонометрическое тождество \( \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} \), получаем:

\( V = \frac{\pi t^{3} \sin^{2} \frac{\alpha}{2}}{3 \cos^{2} \frac{\alpha}{2}} \).

6. Если ввести обозначение \( m = t \sin \frac{\alpha}{2} \), тогда объём можно записать в виде:

\( V = \frac{\pi m^{3}}{3 \sin \frac{\alpha}{2} \cos^{2} \frac{\alpha}{2}} \).

Таким образом, объём конуса выражается через расстояние \(t\) и угол \(\alpha\) указанной формулой.