ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.31 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В основании конуса хорда, равная \(a\), стягивает дугу, градусная мера которой равна \(\alpha\), \(0^\circ < \alpha < 180^\circ\). Угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен \(\beta\). Найдите объём конуса.

Обозначим радиус основания конуса через \(r\) и высоту через \(h\).

Хорда основания \(a = 2r \sin \frac{\alpha}{2}\), откуда \(r = \frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\).

Высота \(h = r \tan \beta = \frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}} \tan \beta\).

Объём конуса \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\right)^2 \cdot \frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}} \tan \beta\).

Упростим:

\(V = \frac{\pi a^3 \tan \beta}{24 \sin^3 \frac{\alpha}{2}}\).

В основании конуса дана хорда длины \(a\), которая стягивает дугу с градусной мерой \(\alpha\), где \(0^\circ < \alpha < 180^\circ\). Для начала найдем радиус основания конуса \(r\). Поскольку хорда \(a\) стягивает дугу \(\alpha\), то по свойствам окружности длина хорды связана с радиусом и углом дуги формулой \(a = 2r \sin \frac{\alpha}{2}\). Отсюда выразим радиус: \(r = \frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\).

Далее рассмотрим высоту конуса \(h\). Из условия известно, что угол между образующей конуса и плоскостью основания равен \(\beta\). Образующая — это наклонная линия от вершины конуса к основанию, а угол \(\beta\) показывает наклон этой линии к плоскости основания. Высота \(h\) — это перпендикуляр из вершины конуса на основание. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом основания и образующей, высота связана с радиусом и углом \(\beta\) через тангенс: \(h = r \tan \beta\). Подставляя найденный радиус, получаем \(h = \frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}} \tan \beta\).

Объем конуса вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\). Подставим сюда выражения для \(r\) и \(h\):

\(V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\right)^2 \cdot \frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}} \tan \beta\).

Раскроем скобки и упростим:

\(V = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2}{4 \sin^2 \frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{a \tan \beta}{2 \sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{\pi a^3 \tan \beta}{3 \cdot 8 \sin^3 \frac{\alpha}{2}} = \frac{\pi a^3 \tan \beta}{24 \sin^3 \frac{\alpha}{2}}\).

Таким образом, объем конуса равен \(V = \frac{\pi a^3 \tan \beta}{24 \sin^3 \frac{\alpha}{2}}\).