ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.33 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через две образующие конуса, угол между которыми равен \(\alpha\), проведена плоскость. Угол между этой плоскостью и плоскостью основания конуса равен \(\beta\). Найдите объём конуса, если его образующая равна \(b\).

Обозначим:

— \(b\) — образующая конуса,
— \(\alpha\) — угол между двумя образующими,
— \(\beta\) — угол между плоскостью, проходящей через эти две образующие, и основанием конуса.

Объём конуса вычисляется по формуле

\(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\),

где \(r\) — радиус основания, \(h\) — высота конуса.

Из условия:

— радиус основания \(r = b \cos \frac{\alpha}{2}\),
— высота конуса \(h = b \sin \beta (1 — \cos^2 \frac{\alpha}{2} \sin^2 \beta)\).

Тогда объём

\(V = \frac{1}{3} \pi b^3 \cos \frac{\alpha}{2} \sin \beta \left(1 — \cos^2 \frac{\alpha}{2} \sin^2 \beta\right)\).

Рассмотрим конус с образующей длиной \(b\). Через две образующие, образующие угол \(\alpha\), проведена плоскость. Угол между этой плоскостью и плоскостью основания конуса равен \(\beta\). Нам нужно найти объём конуса \(V\).

Объём конуса вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), где \(r\) — радиус основания, а \(h\) — высота конуса. Чтобы выразить \(r\) и \(h\) через заданные параметры \(b\), \(\alpha\) и \(\beta\), рассмотрим геометрию фигуры. Образующие конуса — это отрезки длиной \(b\), исходящие из вершины и образующие угол \(\alpha\). Радиус основания конуса связан с длиной образующей и углом между ними.

Радиус основания равен \(r = b \cos \frac{\alpha}{2}\). Это объясняется тем, что радиус основания — это проекция образующей на плоскость основания, а угол между образующими равен \(\alpha\), значит половина этого угла — \(\frac{\alpha}{2}\). Проекция образующей на основание равна длине образующей, умноженной на косинус этого угла.

Высота конуса \(h\) связана с углом \(\beta\) между плоскостью, проходящей через две образующие, и основанием. Высота выражается через \(b\), \(\beta\) и \(\alpha\) формулой \(h = b \sin \beta \left(1 — \cos^2 \frac{\alpha}{2} \sin^2 \beta\right)\). Здесь учитывается, что высота — это перпендикуляр от вершины конуса к основанию, и она зависит от угла наклона плоскости к основанию.

Подставляя выражения для \(r\) и \(h\) в формулу объёма, получаем

\(V = \frac{1}{3} \pi b^3 \cos \frac{\alpha}{2} \sin \beta \left(1 — \cos^2 \frac{\alpha}{2} \sin^2 \beta\right)\).

Таким образом, объём конуса выражается через длину образующей \(b\) и углы \(\alpha\) и \(\beta\), учитывая взаимное расположение образующих и наклон плоскости.