ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.34 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая его основания по хорде, которую видно из центра основания конуса под углом \(\alpha\). Угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания конуса равен \(\beta\). Найдите объём конуса, если радиус его основания равен \(R\).

Через центр основания конуса хорда видна под углом \(\alpha\), значит длина хорды равна \(2R \cos \frac{\alpha}{2}\).

Объём конуса вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} \pi R^2 h\).

Высоту \(h\) можно выразить через радиус \(R\) и угол \(\beta\) между плоскостью и основанием, учитывая, что \(h = R \tan \beta\).

Итоговая формула объёма:

\(V = \frac{1}{3} \pi R^3 \cos^2 \frac{\alpha}{2} \tan \beta\).

Через центр основания конуса хорда видна под углом \(\alpha\), это означает, что угол \(\alpha\) задаёт видимый угол этой хорды из центра круга основания. Длина хорды в круге с радиусом \(R\), которая видна под углом \(\alpha\), равна \(2R \cos \frac{\alpha}{2}\). Это связано с тем, что хорда и радиусы, проведённые к её концам, образуют равнобедренный треугольник, и угол у вершины этого треугольника равен \(\alpha\). Таким образом, длина хорды выражается через радиус основания и угол \(\alpha\).

Объём конуса вычисляется по классической формуле \(V = \frac{1}{3} \pi R^2 h\), где \(R\) — радиус основания, а \(h\) — высота конуса. В данной задаче высота конуса не дана напрямую, но она связана с радиусом основания и углом \(\beta\). Угол \(\beta\) — это угол между плоскостью, проходящей через две образующие конуса, и плоскостью основания. Этот угол позволяет выразить высоту через радиус основания и тангенс угла \(\beta\), так как высота образует прямоугольный треугольник с радиусом основания и наклонной плоскостью.

Высота конуса равна \(h = R \tan \beta\), так как тангенс угла \(\beta\) равен отношению высоты к половине длины хорды основания, учитывая, что плоскость пересекает основание по хорде. Подставляя это выражение в формулу объёма, получаем итоговую формулу: \(V = \frac{1}{3} \pi R^3 \cos^2 \frac{\alpha}{2} \tan \beta\). Здесь \(\cos^2 \frac{\alpha}{2}\) появляется из квадрата длины половины хорды, а \(\tan \beta\) отражает наклон плоскости, влияющий на высоту конуса.