ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.35 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите объём тела, полученного в результате вращения треугольника со сторонами 10 см, 17 см и 21 см вокруг прямой, содержащей его большую сторону.

Найдем полупериметр треугольника: \( p = \frac{10 + 17 + 21}{2} = 24 \).

Вычислим площадь треугольника по формуле Герона:
\( S = \sqrt{p(p — 10)(p — 17)(p — 21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = 84 \, \text{см}^2 \).

Найдем высоту, опущенную на сторону 21 см:
\( h = \frac{2S}{21} = \frac{2 \cdot 84}{21} = 8 \, \text{см} \).

Объем тела вращения вокруг стороны 21 см:
\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 21 = 448 \pi \, \text{см}^3 \).

Для начала определим полупериметр треугольника с длинами сторон 10 см, 17 см и 21 см. Полупериметр — это половина суммы всех сторон, и вычисляется по формуле \( p = \frac{a + b + c}{2} \). Подставляя значения, получаем \( p = \frac{10 + 17 + 21}{2} = 24 \) сантиметра. Этот параметр необходим для дальнейшего вычисления площади треугольника по формуле Герона.

Далее найдём площадь треугольника по формуле Герона, которая выражается как \( S = \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)} \). Подставляем наши значения: \( S = \sqrt{24 \cdot (24 — 10) \cdot (24 — 17) \cdot (24 — 21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} \). Вычисления дают \( S = 84 \) квадратных сантиметра. Площадь нужна для нахождения высоты, опущенной на сторону 21 см, которая является осью вращения.

Высота \( h \) вычисляется как \( h = \frac{2S}{a} \), где \( a = 21 \) см — сторона, вокруг которой происходит вращение. Подставляя числа, получаем \( h = \frac{2 \cdot 84}{21} = 8 \) сантиметров. Теперь можно найти объем тела, образованного вращением треугольника вокруг стороны 21 см. Формула объема конуса или тела вращения через площадь основания и высоту: \( V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h \), где \( r = h = 8 \) см — радиус основания, а \( h = 21 \) см — высота конуса. Подставляем: \( V = \frac{1}{3} \pi \cdot 8^{2} \cdot 21 = \frac{1}{3} \pi \cdot 64 \cdot 21 = 448 \pi \) кубических сантиметров.