ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.37 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите объём тела, полученного в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей гипотенузу этого треугольника, если известны его катет \(a\) и прилежащий к этому катету угол \(\beta\).

Объем тела вращения равен произведению площади треугольника на путь, который проходит центр масс при вращении вокруг оси. Площадь треугольника с катетом \(a\) и углом \(\beta\) равна \( \frac{1}{2} a^{2} \tan \beta \). Расстояние центра масс от оси вращения выражается через \(a\), \(\sin \beta\) и \(\tan \beta\). По теореме Паппа-Гюйгенса объем вычисляется как \( V = S \cdot 2 \pi d \).

В итоге получается формула \( V = \frac{1}{3} \pi a^{3} \sin \beta \tan \beta \).

Объем тела вращения можно найти, используя теорему Паппа-Гюйгенса, которая гласит, что объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, равен произведению площади этой фигуры на длину траектории центра масс при вращении. Рассмотрим треугольник с катетом длины \(a\) и углом \(\beta\) при основании. Площадь этого треугольника равна \(S = \frac{1}{2} a^{2} \tan \beta\), так как в прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу \(\beta\), равен \(a\), а другой катет равен \(a \tan \beta\).

Для применения теоремы Паппа-Гюйгенса нужно определить положение центра масс треугольника и его расстояние до оси вращения. Центр масс прямоугольного треугольника находится на расстоянии \(d = \frac{2}{3} a \sin \beta\) от оси вращения, учитывая, что ось проходит через вершину треугольника и перпендикулярна основанию. При вращении треугольника вокруг этой оси центр масс описывает окружность с радиусом \(d\), а длина траектории равна \(2 \pi d\).

Объем тела вращения тогда равен произведению площади треугольника на длину траектории центра масс: \(V = S \cdot 2 \pi d = \frac{1}{2} a^{2} \tan \beta \cdot 2 \pi \cdot \frac{2}{3} a \sin \beta\). Упростив выражение, получаем \(V = \frac{1}{3} \pi a^{3} \sin \beta \tan \beta\), что совпадает с формулой на изображении.