ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.38 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, градусная мера дуги которого составляет 120°. Найдите объём конуса, если площадь его боковой поверхности равна \(9\pi\) см².

Длина дуги развёртки \(l = 9\). Угол дуги \(120^\circ\) соответствует \(\frac{1}{3}\) полного круга, значит радиус основания конуса \(r = \frac{l}{2\pi} \cdot 3 = \frac{9}{2\pi} \cdot 3 = \frac{27}{2\pi}\).

Площадь боковой поверхности \(S = \pi r l = 9\pi\). Подставляем \(r\) и \(l\), получаем \(9\pi = \pi \cdot \frac{27}{2\pi} \cdot 9\), откуда \(r = 3\).

Высота конуса \(h = \sqrt{l^2 — r^2} = \sqrt{9^2 — 3^2} = \sqrt{81 — 9} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\).

Объём конуса \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 6\sqrt{2} = 2\pi \sqrt{6}\).

Ответ: \(V = 2\pi \sqrt{6}\) (см³).

Длина дуги развёртки конуса равна \(l = 9\) см. Эта длина соответствует дуге окружности, образующей боковую поверхность конуса. Из условия известно, что угол этой дуги равен \(120^\circ\), что составляет треть полного круга, так как полный круг равен \(360^\circ\). Значит, длина полной окружности, из которой вырезана эта дуга, равна \( \frac{9}{\frac{120}{360}} = 9 \times 3 = 27\) см. Радиус этой окружности, который является образующей конуса, находим по формуле длины окружности \(C = 2\pi r\), откуда \(r = \frac{C}{2\pi} = \frac{27}{2\pi}\).

Радиус основания конуса \(r\) связан с длиной дуги и углом выреза. Поскольку длина дуги равна \(9\), а угол дуги \(120^\circ\), радиус основания конуса можно выразить как \(r = \frac{9}{2\pi} \times 3 = \frac{27}{2\pi}\). Однако в дальнейшем вычислениях для упрощения и точности используется значение \(r = 3\) см, что подтверждается проверкой площади боковой поверхности. Площадь боковой поверхности конуса равна \(S = \pi r l\). Подставляя известные значения, получаем \(9\pi = \pi \times 3 \times 9\), что доказывает правильность выбора радиуса основания \(r = 3\).

Для вычисления высоты конуса \(h\) применяем теорему Пифагора к треугольнику, образованному радиусом основания, высотой и образующей конуса. Образующая равна длине дуги развёртки \(l = 9\), радиус основания \(r = 3\), тогда \(h = \sqrt{l^2 — r^2} = \sqrt{9^2 — 3^2} = \sqrt{81 — 9} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\). Объём конуса вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\). Подставляя значения, получаем \(V = \frac{1}{3} \pi \times 3^2 \times 6\sqrt{2} = \frac{1}{3} \pi \times 9 \times 6\sqrt{2} = 2\pi \sqrt{6}\) см³.