ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.39 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Развёрткой боковой поверхности конуса является полукруг, радиус которого равен 8 см. Найдите объём конуса.

Развёртка боковой поверхности конуса — полукруг с радиусом \(8\) см, значит образующая \(l = 8\) см.

Длина окружности основания равна длине дуги полукруга: \(2 \pi r = \pi l\). Отсюда \(r = \frac{l}{2} = 4\) см.

Высота конуса по теореме Пифагора: \(h = \sqrt{l^2 — r^2} = \sqrt{64 — 16} = 4 \sqrt{3}\) см.

Объём конуса: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 4 \sqrt{3} = \frac{64 \pi \sqrt{3}}{3}\) см³.

Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой полукруг с радиусом \(8\) см. Этот радиус равен длине образующей конуса, то есть боковой стороне, которая соединяет вершину конуса с точкой на окружности основания. Образующая обозначается как \(l\), значит \(l = 8\) см. Поскольку боковая поверхность — это полукруг, длина дуги этого полукруга равна длине окружности основания конуса. Длина дуги полукруга равна половине длины полной окружности с радиусом \(l\), то есть \( \pi l \).

Основание конуса — круг с радиусом \(r\). Его длина окружности равна \(2 \pi r\). Поскольку длина дуги полукруга равна длине окружности основания, имеем равенство \(2 \pi r = \pi l\). Отсюда можно найти радиус основания \(r\): разделим обе части на \(\pi\), получим \(2r = l\), следовательно, \(r = \frac{l}{2}\). Подставляя \(l = 8\), получаем \(r = \frac{8}{2} = 4\) см.

Для вычисления объёма конуса нужна высота \(h\). Высота, радиус основания и образующая связаны по теореме Пифагора: \(l^2 = r^2 + h^2\). Отсюда высота равна \(h = \sqrt{l^2 — r^2}\). Подставляя значения, получаем \(h = \sqrt{8^2 — 4^2} = \sqrt{64 — 16} = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}\) см. Теперь объём конуса вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\). Подставляя найденные значения, получаем \(V = \frac{1}{3} \pi \cdot 4^2 \cdot 4 \sqrt{3} = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 4 \sqrt{3} = \frac{64 \pi \sqrt{3}}{3}\) см³.