ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.41 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В конус вписан шар, радиус которого равен \(r\). Найдите объём конуса, если угол между его образующей и плоскостью основания равен \(\alpha\).

Рассмотрим конус с вписанным шаром радиуса \(r\).

Обозначим \(n = r\).

Угол между образующей и основанием равен \(\alpha\).

Из геометрии конуса и вписанного шара следует, что объем конуса выражается формулой

\(V = \frac{1}{3} \pi r^3 \, \mathrm{ctg}^3 \frac{\alpha}{2} \, \mathrm{tg} \alpha\).

Это и есть искомый объем конуса через радиус вписанного шара \(r\) и угол \(\alpha\).

Рассмотрим более подробно задачу вписанного шара в конус и нахождения объёма этого конуса через радиус вписанного шара и угол между образующей и основанием.

Пусть в конус вписан шар радиуса \( r \). Это значит, что шар касается основания конуса и его боковой поверхности. Обозначим радиус шара через \( r \), а угол между образующей конуса и плоскостью основания через \( \alpha \). Образующая — это линия, соединяющая вершину конуса с точкой на окружности основания. Этот угол \( \alpha \) определяет наклон боковой поверхности конуса.

Для начала рассмотрим геометрическую взаимосвязь между радиусом шара, высотой и радиусом основания конуса. Если обозначить высоту конуса через \( h \), а радиус основания через \( R \), то из треугольника, образованного высотой и радиусом основания, следует, что \(\tan \alpha = \frac{R}{h}\). При этом шар, вписанный в конус, касается боковой поверхности и основания, и его радиус связан с размерами конуса. По геометрии вложенного шара в конус можно вывести, что высота конуса и радиус основания выражаются через радиус шара и угол \( \alpha \).

Объём конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} \pi R^{2} h \). Подставляя выражения для \( R \) и \( h \) через \( r \) и \( \alpha \), получаем формулу объёма конуса через радиус вписанного шара и угол:

\[
V = \frac{1}{3} \pi r^{3} \cot^{3} \frac{\alpha}{2} \tan \alpha.
\]

Здесь используется тригонометрическая функция котангенса угла \( \frac{\alpha}{2} \), возведённая в третью степень, и тангенс угла \( \alpha \). Эта формула отражает точную зависимость объёма конуса от радиуса вписанного шара и угла между образующей и основанием, что позволяет находить объём конуса, зная только эти два параметра.