ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.42 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Из сосуда, имеющего форму конуса, высота которого равна 8 см, а диаметр основания – 12 см, и наполненного до краёв водой, перелили воду в сосуд, имеющий форму цилиндра (рис. 19.3). Диаметр основания цилиндра равен 8 см. Какой наименьшей должна быть высота цилиндрического сосуда, чтобы вода из него не выливалась?

Объем конуса \(V_k = \frac{1}{3} \pi r^2 h\).

Радиус основания конуса \(r = \frac{12}{2} = 6\) см, высота \(h = 8\) см.

Подставляем:
\(V_k = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = 96 \pi\) см³.

Объем цилиндра \(V_c = \pi r^2 h\).

Радиус основания цилиндра \(r = \frac{8}{2} = 4\) см, высота \(h\) — неизвестна.

Приравниваем объемы:
\(\pi \cdot 4^2 \cdot h = 96 \pi\).

Сокращаем \(\pi\):
\(16h = 96\).

Находим высоту:
\(h = \frac{96}{16} = 6\) см.

Объем воды в конусообразном сосуде равен объему самого конуса. Формула объема конуса — это \(V_k = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), где \(r\) — радиус основания, а \(h\) — высота конуса. В данном случае диаметр основания конуса равен 12 см, значит радиус \(r = \frac{12}{2} = 6\) см. Высота конуса дана как 8 см. Подставляя эти значения в формулу, получаем \(V_k = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 8\). Вычисляя степень, получаем \(6^2 = 36\), тогда объем равен \(V_k = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8\). Умножая 36 на 8, получаем 288, и, деля на 3, получаем итоговый объем \(V_k = 96 \pi\) кубических сантиметров.

Теперь нужно определить минимальную высоту цилиндрического сосуда, чтобы вместить этот объем воды. Объем цилиндра вычисляется по формуле \(V_c = \pi r^2 h\), где \(r\) — радиус основания цилиндра, а \(h\) — его высота. Диаметр основания цилиндра равен 8 см, значит радиус \(r = \frac{8}{2} = 4\) см. Объем воды из конуса переливается в цилиндр, поэтому объемы должны быть равны: \(V_c = V_k\). Подставляем значения в уравнение: \(\pi \cdot 4^2 \cdot h = 96 \pi\). Вычисляем квадрат радиуса: \(4^2 = 16\), уравнение становится \(16 \pi h = 96 \pi\).

Далее сокращаем обе части уравнения на \(\pi\), так как \(\pi \neq 0\), получаем \(16 h = 96\). Чтобы найти высоту цилиндра \(h\), делим обе части уравнения на 16: \(h = \frac{96}{16} = 6\). Таким образом, минимальная высота цилиндра, чтобы вместить всю воду из конуса, равна 6 см.