ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.44 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиусы оснований усечённого конуса равны \(R\) и \(r\), \(R > r\). Найдите отношение объёма данного усечённого конуса к объёму конуса, частью которого он является.

Объём усечённого конуса равен разности объёмов двух конусов с радиусами оснований \(R\) и \(r\), высоты которых пропорциональны радиусам.

Отношение объёмов:

\( \frac{V_{\text{усечённого}}}{V_{\text{конуса}}} = \frac{R^3 — r^3}{R^3} \).

Усечённый конус получается, если от полного конуса с радиусом основания \(R\) отрезать меньший конус с радиусом основания \(r\), где \(R > r\). Высоты этих конусов связаны пропорционально радиусам, так как они подобны. Объём конуса пропорционален кубу линейного размера, поэтому объём меньшего конуса пропорционален \(r^3\), а большего — \(R^3\).

Объём усечённого конуса равен разности объёмов полного конуса и отрезанного меньшего конуса. Если объём полного конуса обозначить \(V\), то объём меньшего конуса будет \(V \cdot \frac{r^3}{R^3}\). Следовательно, объём усечённого конуса равен \(V — V \cdot \frac{r^3}{R^3} = V \left(1 — \frac{r^3}{R^3}\right)\).

Отношение объёма усечённого конуса к объёму полного конуса тогда равно \( \frac{V_{\text{усечённого}}}{V} = 1 — \frac{r^3}{R^3} = \frac{R^3 — r^3}{R^3} \).