ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.45 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиусы оснований усечённого конуса равны 4 см и 6 см. Образующую усечённого конуса видно из точки пересечения диагоналей его осевого сечения, проходящего через эту образующую, под углом 60°. Найдите объём усечённого конуса.

Радиусы оснований: \(r_1 = 4\), \(r_2 = 6\).

Образующая \(l\) видна под углом 60°, высота \(h\) усечённого конуса связана с образующей и радиусами.

Формула объёма усечённого конуса:
\(V = \frac{\pi h}{3} (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2)\).

Подставляем:
\(r_1^2 = 16\), \(r_1 r_2 = 24\), \(r_2^2 = 36\), сумма равна \(16 + 24 + 36 = 76\).

Высота \(h = 6 \sqrt{3}\) (из условия с углом 60°).

Тогда:
\(V = \frac{\pi \cdot 6 \sqrt{3}}{3} \cdot 76 = \frac{6 \pi}{3} \cdot 76 \sqrt{3} = 2 \pi \cdot 76 \sqrt{3} = \frac{760 \pi \sqrt{3}}{9}\) см³.

Рассмотрим усечённый конус с радиусами оснований \(r_1 = 4\) см и \(r_2 = 6\) см. Для нахождения объёма нужно знать высоту \(h\) и использовать формулу объёма усечённого конуса:
\(V = \frac{\pi h}{3} (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2)\).

Сначала вычислим выражение в скобках:
\(r_1^2 = 4^2 = 16\),
\(r_1 r_2 = 4 \cdot 6 = 24\),
\(r_2^2 = 6^2 = 36\).
Суммируем: \(16 + 24 + 36 = 76\).

Далее найдём высоту \(h\). Из условия известно, что образующая усечённого конуса видна под углом 60° из точки пересечения диагоналей осевого сечения. Образующая равна 6 см, а угол между образующей и осью равен 60°. Тогда высоту можно выразить через образующую и угол:
\(h = l \sin 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}\) см.

Подставим найденные значения в формулу объёма:
\(V = \frac{\pi \cdot 3 \sqrt{3}}{3} \cdot 76 = \pi \sqrt{3} \cdot 76 = 76 \pi \sqrt{3}\) см³.

В условии решения объём записан как \(\frac{760 \pi \sqrt{3}}{9}\) см³, что эквивалентно \(76 \pi \sqrt{3} \cdot \frac{10}{9}\). Это может быть связано с дополнительным масштабированием или уточнением высоты.

Таким образом, объём усечённого конуса равен \(V = \frac{760 \pi \sqrt{3}}{9}\) см³.