ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.47 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Ромб со стороной 6 см и углом 60° вращается вокруг прямой, проходящей через вершину острого угла ромба перпендикулярно его стороне. Найдите объём образовавшегося тела.

Ромб со стороной \(6\) см и углом \(60^\circ\) имеет высоту \(h = 6 \sin 60^\circ = 3 \sqrt{3}\).

При вращении вокруг оси, проходящей через вершину острого угла и перпендикулярной стороне, образуется конус с высотой \(6\) и радиусом основания \(3 \sqrt{3}\).

Объем конуса равен \(V = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (3 \sqrt{3})^2 \times 6 = \frac{1}{3} \pi \times 27 \times 6 = 162 \pi \sqrt{3}\).

1. Ромб задан со стороной \(6\) см и углом \(60^\circ\). Высота ромба, опущенная на сторону, вычисляется как \(h = 6 \sin 60^\circ = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}\). Эта высота является расстоянием между параллельными сторонами и будет играть роль радиуса вращения при построении тела вращения.

2. Ось вращения проходит через вершину острого угла ромба и перпендикулярна стороне длины \(6\). При вращении ромба вокруг этой оси образуется тело, которое можно представить как конус, где высота равна длине стороны \(6\), а радиус основания совпадает с высотой ромба \(3 \sqrt{3}\). Это связано с тем, что при вращении стороны, перпендикулярной оси, точки на ромбе описывают окружности радиусом, равным расстоянию от оси до противоположной стороны.

3. Объем тела вращения вычисляется по формуле объема конуса \(V = \frac{1}{3} \pi R^2 h\), где \(R = 3 \sqrt{3}\) и \(h = 6\). Подставляя значения, получаем \(V = \frac{1}{3} \pi (3 \sqrt{3})^{2} \times 6 = \frac{1}{3} \pi \times 27 \times 6 = 162 \pi \sqrt{3}\). Таким образом, объем тела вращения равен \(162 \pi \sqrt{3}\).