ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.48 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а боковая сторона – 10 см. Треугольник вращается вокруг прямой, проходящей через вершину угла при его основании перпендикулярно к этому основанию. Найдите объём образовавшегося тела.

Основание треугольника \(b = 12\), боковая сторона \(a = 10\). Высота \(h = \sqrt{a^2 — \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{100 — 36} = 8\).

Рассмотрим вращение вокруг оси, проходящей через вершину основания и перпендикулярной основанию.

Радиусы вращения: \(R_{max} = \frac{3}{4}(16 — y)\), \(R_{min} = \frac{3}{4} y\), где \(y\) меняется от 0 до 8.

Объём тела вращения \(V = \pi \int_0^8 \left(R_{max}^2 — R_{min}^2\right) dy = \frac{9\pi}{16} \int_0^8 \left((16 — y)^2 — y^2\right) dy\).

Вычисляем интеграл: \(\int_0^8 (256 — 32 y) dy = 256 \cdot 8 — 16 \cdot 64 = 1024\).

Итоговый объём \(V = \frac{9\pi}{16} \times 1024 = 576 \pi\).

Ответ: \(576 \pi\) см³.

1. Дано равнобедренный треугольник с основанием \(b = 12\) см и боковой стороной \(a = 10\) см. Для начала находим высоту \(h\), опущенную на основание. Высота делит основание пополам, поэтому половина основания равна \(\frac{b}{2} = 6\) см. По теореме Пифагора высота вычисляется как \(h = \sqrt{a^{2} — \left(\frac{b}{2}\right)^{2}} = \sqrt{10^{2} — 6^{2}} = \sqrt{100 — 36} = \sqrt{64} = 8\) см. Таким образом, высота треугольника равна 8 см.

2. Рассмотрим вращение треугольника вокруг оси, проходящей через вершину основания и перпендикулярной основанию. Пусть ось вращения проходит через точку \(B\) основания и направлена вдоль оси \(y\). Координаты точек: \(B(0,0)\), \(C(12,0)\), \(A(6,8)\). При вращении вокруг оси \(y\) радиус вращения для каждой точки равен её абсциссе \(x\). Для стороны \(AB\) уравнение прямой: \(y = \frac{8}{6} x = \frac{4}{3} x\), откуда \(x = \frac{3}{4} y\). Для стороны \(AC\) уравнение: \(y = -\frac{4}{3} x + 16\), откуда \(x = \frac{3}{4} (16 — y)\).

3. Объём тела вращения вычисляется по формуле \(V = \pi \int_{0}^{8} \left(R_{max}^{2} — R_{min}^{2}\right) dy\), где \(R_{max} = \frac{3}{4} (16 — y)\) и \(R_{min} = \frac{3}{4} y\). Подставляем: \(V = \pi \int_{0}^{8} \left(\left(\frac{3}{4} (16 — y)\right)^{2} — \left(\frac{3}{4} y\right)^{2}\right) dy = \frac{9 \pi}{16} \int_{0}^{8} \left((16 — y)^{2} — y^{2}\right) dy\). Раскрываем скобки: \((16 — y)^{2} — y^{2} = 256 — 32 y + y^{2} — y^{2} = 256 — 32 y\). Интегрируем: \(\int_{0}^{8} (256 — 32 y) dy = 256 \times 8 — 16 \times 64 = 2048 — 1024 = 1024\). Итоговый объём: \(V = \frac{9 \pi}{16} \times 1024 = 576 \pi\) см³.