ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.50 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Три металлических шара, радиусы которых равны 3 см, 4 см и 5 см, расплавили и из полученного металла отлили один шар. Каков радиус полученного шара? Потерями металла при переплавке пренебречь.

Объём каждого шара: \(V_1 = \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = 36\pi\), \(V_2 = \frac{4}{3}\pi \cdot 4^3 = \frac{256}{3}\pi\), \(V_3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 = \frac{500}{3}\pi\).

Суммарный объём: \(36\pi + \frac{256}{3}\pi + \frac{500}{3}\pi = 36\pi + \frac{756}{3}\pi = 36\pi + 252\pi = 288\pi\).

Объём нового шара: \(\frac{4}{3}\pi r^3 = 288\pi\).

\(r^3 = \frac{288 \cdot 3}{4} = 216\), \(r = 6\,\text{см}\).

Для начала найдём объёмы всех трёх шаров по формуле объёма шара: \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\). Для первого шара радиус \(r_1 = 3\), поэтому \(V_1 = \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi\). Для второго шара радиус \(r_2 = 4\), тогда \(V_2 = \frac{4}{3}\pi \cdot 4^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 = \frac{256}{3}\pi\). Для третьего шара радиус \(r_3 = 5\), соответственно \(V_3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 = \frac{500}{3}\pi\).

Теперь просуммируем объёмы всех трёх шаров: \(V_{\text{общ}} = V_1 + V_2 + V_3 = 36\pi + \frac{256}{3}\pi + \frac{500}{3}\pi\). Приведём к общему знаменателю: \(36\pi = \frac{108}{3}\pi\), тогда \(V_{\text{общ}} = \frac{108}{3}\pi + \frac{256}{3}\pi + \frac{500}{3}\pi = \frac{864}{3}\pi = 288\pi\).

Пусть радиус нового шара равен \(r\). Его объём должен быть равен суммарному объёму трёх шаров: \(\frac{4}{3}\pi r^3 = 288\pi\). Упростим уравнение, сократив обе части на \(\pi\): \(\frac{4}{3} r^3 = 288\). Домножим обе части на 3: \(4 r^3 = 864\), отсюда \(r^3 = \frac{864}{4} = 216\), и, наконец, \(r = 6\). Ответ: радиус нового шара \(6\) см.