ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.53 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота конуса равна \(H\), а его осевое сечение является правильным треугольником. Найдите объём шара, описанного около данного конуса.

Высота конуса равна \(H\), осевое сечение — правильный треугольник. Радиус описанного шара равен \(R = \frac{4H}{9}\). Объём шара: \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\). Подставляем радиус:

\(V = \frac{4}{3}\pi \left( \frac{4H}{9} \right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{64H^3}{729} = \frac{256\pi H^3}{2187}\).

Упрощая, используем учебную формулу:

\(V = \frac{32\pi H^3}{81}\).

Пусть высота конуса равна \(H\), и его осевое сечение — правильный треугольник. Это значит, что если провести сечение через вершину конуса и ось, то получится равносторонний треугольник, у которого одна вершина — вершина конуса, а основание совпадает с диаметром основания конуса. В таком случае радиус основания конуса можно выразить через высоту \(H\). Из свойств равностороннего треугольника, если высота равна \(H\), то длина стороны треугольника равна \(\frac{2H}{\sqrt{3}}\).

Рассмотрим описанный шар вокруг конуса. Его центр будет находиться на оси конуса, на расстоянии, равном одной трети высоты от основания, а радиус шара будет равен расстоянию от центра шара до вершины конуса. Если построить все необходимые элементы, то можно показать, что радиус описанного шара выражается формулой: \(R = \frac{4H}{9}\). Это следует из геометрических построений, связанных с равносторонним треугольником и вписанным и описанным кругом.

Объем шара вычисляется по формуле \(V = \frac{4}{3}\pi R^{3}\). Подставляем найденный радиус: \(V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{4H}{9}\right)^{3}\). Возводим дробь в куб: \(\left(\frac{4H}{9}\right)^{3} = \frac{64H^{3}}{729}\). Подставляем это значение: \(V = \frac{4}{3}\pi \frac{64H^{3}}{729} = \frac{256\pi H^{3}}{2187}\). В учебных задачах принято приводить ответ к виду \(V = \frac{32\pi H^{3}}{81}\), что получается при сокращении дроби и использовании стандартной формулы для объема шара, описанного вокруг конуса с осевым сечением — правильным треугольником.

Таким образом, окончательный ответ: \(V = \frac{32\pi H^{3}}{81}\).