ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.54 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Образующая конуса равна \(a\), а угол между нею и плоскостью основания равен \(\alpha\). Найдите объём шара, описанного около данного конуса.

1. Формула объёма шара:
\(V = \frac{4}{3} \pi r^3\)

2. Радиус описанного шара:
\(r = \frac{a}{2 \sin \alpha}\)

3. Подставим радиус в формулу объёма:
\(V = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{a}{2 \sin \alpha} \right)^3 = \frac{\pi a^3}{6 \sin^3 \alpha}\)

Образующая конуса — это отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой на окружности основания. Пусть длина образующей равна \(a\), а угол между образующей и плоскостью основания — \(\alpha\). Для описанного шара радиус совпадает с расстоянием от центра шара до любой точки на его поверхности, а центр шара будет находиться на оси конуса, равноудалённо от основания и вершины.

Рассмотрим треугольник, образованный вершиной конуса, центром основания и точкой касания шара с образующей. В таком треугольнике образующая является гипотенузой, а угол между ней и основанием — заданный \(\alpha\). Тогда высота конуса из вершины на основание равна \(h = a \sin \alpha\), а радиус основания — \(R = a \cos \alpha\).

Шар, описанный вокруг конуса, имеет диаметр, равный расстоянию от вершины конуса до противоположной точки основания, то есть диаметру окружности, в которую вписан конус. Радиус шара будет равен половине длины образующей, делённой на синус угла \(\alpha\): \(r = \frac{a}{2 \sin \alpha}\).

Объем шара вычисляется по формуле: \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\). Подставим найденное значение радиуса: \(V = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{a}{2 \sin \alpha} \right)^3\). Раскроем скобки и упростим выражение: \(V = \frac{4}{3} \pi \frac{a^3}{8 \sin^3 \alpha} = \frac{\pi a^3}{6 \sin^3 \alpha}\).