ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.55 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Объём правильной треугольной призмы равен \(V\). Найдите объём цилиндра, вписанного в данную призму.

Пусть объём призмы \(V\).

Объём цилиндра: \(V_{\text{ц}} = \pi r^2 h\).

Высота цилиндра равна высоте призмы \(h\), а радиус основания цилиндра равен радиусу вписанной окружности правильного треугольника: \(r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\), где \(a\) — сторона треугольника.

Площадь основания призмы: \(S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\).

Объём призмы: \(V = S h = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} h\).

Отсюда: \(a^2 h = \frac{4V}{\sqrt{3}}\).

Объём цилиндра:

\(V_{\text{ц}} = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 h = \pi \frac{a^2}{4 \cdot 3} h = \frac{\pi a^2 h}{12}\).

Подставим \(a^2 h\):

\(V_{\text{ц}} = \frac{\pi}{12} \cdot \frac{4V}{\sqrt{3}} = \frac{\pi V}{3\sqrt{3}}\).

Ответ: \(V_{\text{ц}} = \frac{\pi V \sqrt{3}}{9}\).

Пусть объём правильной треугольной призмы равен \(V\). Основание призмы — правильный треугольник со стороной \(a\), высота призмы — \(h\). Площадь основания равна \(S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}\), тогда объём призмы выражается как \(V = S h = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} h\). Из этого выражения можно выразить произведение \(a^{2} h\) через объём призмы: \(a^{2} h = \frac{4V}{\sqrt{3}}\).

Цилиндр вписан в призму так, что его основание — окружность, вписанная в правильный треугольник. Радиус этой окружности равен \(r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\), а высота цилиндра совпадает с высотой призмы — \(h\). Тогда объём цилиндра равен \(V_{\text{ц}} = \pi r^{2} h\). Подставляя выражение для радиуса, получаем: \(V_{\text{ц}} = \pi \left( \frac{a}{2\sqrt{3}} \right)^{2} h = \pi \frac{a^{2}}{4 \cdot 3} h = \frac{\pi a^{2} h}{12}\).

Теперь подставим найденное ранее выражение для \(a^{2} h\): \(V_{\text{ц}} = \frac{\pi}{12} \cdot \frac{4V}{\sqrt{3}} = \frac{\pi V}{3\sqrt{3}}\). Чтобы привести ответ к виду, совпадающему с фото, домножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \(V_{\text{ц}} = \frac{\pi V \sqrt{3}}{9}\).

Итак, объём цилиндра, вписанного в правильную треугольную призму объёмом \(V\), равен \(V_{\text{ц}} = \frac{\pi V \sqrt{3}}{9}\).