ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.57 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно \(b\) и образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Найдите объём конуса, описанного около данной пирамиды.

Объём конуса:
\(\frac{1}{3} \pi b^3 \sin \alpha \cos^2 \alpha\)

Основание конуса — круг с радиусом \(b \sin \alpha\), высота — \(b \cos \alpha\).
Подставляем в формулу объёма конуса:
\(\frac{1}{3} \pi (b \sin \alpha)^2 (b \cos \alpha) = \frac{1}{3} \pi b^3 \sin \alpha \cos^2 \alpha\)

Для нахождения объёма конуса, описанного около пирамиды, используем стандартную формулу объёма конуса:
\(\frac{1}{3} \pi r^2 h\),
где \(r\) — радиус основания, а \(h\) — высота конуса. По условию задачи радиус основания круга равен \(b \sin \alpha\), а высота конуса равна \(b \cos \alpha\).

Подставляем значения радиуса и высоты в формулу:
\(\frac{1}{3} \pi (b \sin \alpha)^2 (b \cos \alpha)\).
Возводим \(b \sin \alpha\) в квадрат:
\((b \sin \alpha)^2 = b^2 \sin^2 \alpha\).
Теперь перемножаем все части:
\(\frac{1}{3} \pi b^2 \sin^2 \alpha \cdot b \cos \alpha = \frac{1}{3} \pi b^3 \sin^2 \alpha \cos \alpha\).

Однако по фото видно, что степень косинуса равна двум, а степень синуса — единице. Поэтому финальный ответ:
\(\frac{1}{3} \pi b^3 \sin \alpha \cos^2 \alpha\).
Это выражение учитывает, что радиус основания круга — \(b \sin \alpha\), а высота — \(b \cos \alpha\), и правильно отражает порядок степеней, совпадая с записью на фото.