ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.58 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Одна из сторон основания треугольной пирамиды равна 12 см, а противолежащий ей угол основания – 60°. Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 30°. Найдите объём конуса, описанного около данной пирамиды.

1. \( V_k = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)

2. \( V_k = 64\pi \left(см^3\right) \)

Для начала рассмотрим основание пирамиды. Одна из сторон треугольника основания равна \(12\) см, противолежащий угол равен \(60^\circ\). По теореме синусов найдём радиус описанной окружности основания: \( r = \frac{a}{2\sin\alpha} = \frac{12}{2\sin 60^\circ} = \frac{12}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \) см.

Далее определим высоту конуса. Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом \(30^\circ\). Высота конуса равна высоте, опущенной из вершины пирамиды на основание, то есть \( h = r \cdot \tan 30^\circ \). Так как описанный конус имеет то же основание, что и пирамида, берём высоту: \( h = r \cdot \sqrt{3} / 3 = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 4 \) см.

Теперь вычислим объём конуса по формуле \( V_k = \frac{1}{3} \pi r^2 h \). Подставляем значения: \( V_k = \frac{1}{3} \pi (4\sqrt{3})^2 \cdot 4 = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 3 \cdot 4 = \frac{1}{3} \pi \cdot 192 = 64\pi \) см\(^3\).