ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.59 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является ромб со стороной \(a\) и углом \(\alpha\). Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду, если угол между его образующей и плоскостью основания пирамиды равен \(\beta\).

\( V_k = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)

\( V_k = \frac{1}{24} \pi a^3 \sin^3 \alpha \tan \beta \).

Для нахождения объёма конуса, вписанного в пирамиду, сначала используем стандартную формулу объёма конуса: \( V_k = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), где \( r \) — радиус основания конуса, а \( h \) — высота конуса. В данном случае основание пирамиды — ромб со стороной \( a \) и углом \( \alpha \). Радиус \( r \) вписанного конуса будет равен радиусу вписанной окружности в ромб, который вычисляется как \( r = \frac{a \sin \alpha}{2} \).

Высота конуса \( h \) выражается через угол между образующей конуса и плоскостью основания пирамиды, то есть через угол \( \beta \). Если образующая конуса наклонена под углом \( \beta \) к плоскости основания, то высота конуса находится по формуле: \( h = r \tan \beta \). Подставляя значение \( r \), получаем \( h = \frac{a \sin \alpha}{2} \tan \beta \).

Теперь подставим найденные значения \( r \) и \( h \) в формулу объёма конуса: \( V_k = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{a \sin \alpha}{2} \right)^2 \cdot \frac{a \sin \alpha}{2} \tan \beta \). После упрощения получаем: \( V_k = \frac{1}{24} \pi a^3 \sin^3 \alpha \tan \beta \).