ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.6 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 20 см и образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите объём цилиндра.

Диагональ осевого сечения цилиндра \(d = 20\) см и угол с основанием \(\alpha = 30^\circ\).

Высота цилиндра \(h = d \cdot \sin \alpha = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10\) см.

Диагональ связана с высотой и диаметром основания: \(d^2 = h^2 + (2r)^2\).

Подставляем: \(20^2 = 10^2 + (2r)^2\), значит \(400 = 100 + 4r^2\).

Отсюда \(4r^2 = 300\), значит \(r^2 = 75\).

Объём цилиндра \(V = \pi r^2 h = \pi \cdot 75 \cdot 10 = 750 \pi\).

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 20 см, а угол между этой диагональю и плоскостью основания составляет 30 градусов. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра \(h\), а другая — диаметру основания \(2r\). Диагональ этого прямоугольника вычисляется по теореме Пифагора как \(d = \sqrt{h^2 + (2r)^2}\).

2. Из условия угла между диагональю и основанием следует, что высота цилиндра связана с диагональю через синус угла: \(h = d \cdot \sin 30^\circ\). Поскольку \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), получаем \(h = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10\) см. Таким образом, высота цилиндра равна 10 см.

3. Подставляя найденную высоту и известную диагональ в формулу для диагонали, имеем \(20^2 = 10^2 + (2r)^2\), то есть \(400 = 100 + 4r^2\). Вычитаем 100 из обеих частей, получаем \(4r^2 = 300\), откуда \(r^2 = \frac{300}{4} = 75\). Радиус основания равен \(\sqrt{75}\).

4. Объём цилиндра вычисляется по формуле \(V = \pi r^2 h\). Подставляя значения, получаем \(V = \pi \cdot 75 \cdot 10 = 750 \pi\) кубических сантиметров. Это и есть искомый объём цилиндра.