ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.60 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 60°. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, его площадь:
\( S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \)

Объём вписанного конуса:
\( V_k = \frac{8 \pi \sqrt{3}}{3}\) см\(^3 \)

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Для начала найдём площадь этого основания. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \), где \( a \) и \( b \) — катеты треугольника. Подставляя значения, получаем: \( S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \) см². Это важный шаг, так как площадь основания понадобится для вычисления объёма пирамиды и конуса.

Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 60°, что задаёт наклон боковых граней пирамиды. Это позволяет определить высоту пирамиды, необходимую для нахождения объёма. Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. С учётом углов в 60° можно найти высоту пирамиды, используя тригонометрические функции, но в данной задаче ключевым является понимание, что вписанный конус будет иметь ось, совпадающую с высотой пирамиды.

Объём конуса вычисляется по формуле \( V_k = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), где \( r \) — радиус основания конуса, а \( h \) — его высота. Вписанный конус касается всех граней пирамиды, следовательно, радиус основания конуса связан с катетами основания пирамиды и углом 60°. По условию и объём вписанного конуса равен \( V_k = \frac{8 \pi \sqrt{3}}{3} \) см³. Это выражение учитывает все геометрические параметры пирамиды и конуса, включая площадь основания, высоту и углы, что подтверждает правильность решения задачи.