ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.61 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Образующая усечённого конуса равна \(a\), а угол между нею и плоскостью большего основания равен \(\alpha\). Найдите объём усечённого конуса, если диагонали его осевого сечения перпендикулярны.

Объём усечённого конуса выражается формулой:
\( V_{\text{ус.к.}} = \frac{\pi h}{3}(r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2) \)

С учётом условия задачи, объём равен:
\( V_{\text{ус.к.}} = \frac{1}{12} \pi a^3 \sin \alpha (2 — \cos 2\alpha) \)

Для вычисления объёма усечённого конуса используется стандартная формула: \( V_{\text{ус.к.}} = \frac{\pi h}{3}(r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2) \), где \( h \) — высота усечённого конуса, \( r_1 \) и \( r_2 \) — радиусы оснований. Эта формула учитывает вклад обоих оснований и боковой поверхности, позволяя находить объём при известных параметрах.

В данной задаче образующая усечённого конуса равна \( a \), а угол между образующей и плоскостью большего основания — \( \alpha \). При этом диагонали осевого сечения перпендикулярны, что накладывает дополнительное геометрическое условие на взаимное расположение элементов конуса. Благодаря этому условию можно выразить высоту и радиусы через \( a \) и \( \alpha \), используя тригонометрические зависимости: высота \( h = a \sin \alpha \), а радиусы оснований связаны с длиной образующей и углом.

После подстановки всех выражений через \( a \) и \( \alpha \) и упрощения получается окончательная формула объёма: \( V_{\text{ус.к.}} = \frac{1}{12} \pi a^3 \sin \alpha (2 — \cos 2\alpha) \). Эта формула учитывает все геометрические особенности задачи и позволяет сразу найти объём по исходным данным, без необходимости отдельно вычислять радиусы или высоту.