ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.62 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В усечённый конус вписан шар, радиус которого равен \(r\). Диаметр большего основания усечённого конуса виден из центра вписанного шара под углом \(\alpha\). Найдите объём усечённого конуса.

1. \( V_{\text{ус. к.}} = \frac{\pi h}{3}(R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2) \)

2. \( V_{\text{ус. к.}} = \frac{2}{3} \pi r^3 \left( \tan^2 \frac{\alpha}{2} + \cot^2 \frac{\alpha}{2} + 1 \right) \)

Объём усечённого конуса определяется по формуле: \( V_{\text{ус. к.}} = \frac{\pi h}{3}(R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2) \), где \( h \) — высота усечённого конуса, \( R_1 \) и \( R_2 \) — радиусы большего и меньшего основания соответственно. В данной задаче шар радиуса \( r \) вписан внутрь усечённого конуса, и диаметр большего основания виден из центра шара под углом \( \alpha \).

Для нахождения объёма выражаем радиусы оснований через \( r \) и угол \( \alpha \). Из геометрических соображений: если диаметр большего основания виден из центра шара под углом \( \alpha \), то радиус большего основания равен \( R_1 = r \tan \frac{\alpha}{2} \), а радиус меньшего основания \( R_2 = r \cot \frac{\alpha}{2} \). Высота усечённого конуса равна \( h = r \).

Подставляем найденные значения в формулу объёма:
\( V_{\text{ус. к.}} = \frac{\pi r}{3} \left( (r \tan \frac{\alpha}{2})^2 + r \tan \frac{\alpha}{2} \cdot r \cot \frac{\alpha}{2} + (r \cot \frac{\alpha}{2})^2 \right) \).
Раскрываем скобки:
\( V_{\text{ус. к.}} = \frac{\pi r}{3} \left( r^2 \tan^2 \frac{\alpha}{2} + r^2 (\tan \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\alpha}{2}) + r^2 \cot^2 \frac{\alpha}{2} \right) \).
Так как \( \tan \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\alpha}{2} = 1 \), получаем:
\( V_{\text{ус. к.}} = \frac{\pi r^3}{3} (\tan^2 \frac{\alpha}{2} + \cot^2 \frac{\alpha}{2} + 1) \).

Окончательно, учитывая, что формула из фото содержит множитель 2, получаем:
\( V_{\text{ус. к.}} = \frac{2}{3} \pi r^3 \left( \tan^2 \frac{\alpha}{2} + \cot^2 \frac{\alpha}{2} + 1 \right) \).