ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.64 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Боковое ребро правильной пирамиды равно \(a\) и образует с её основанием угол \(\alpha\). Найдите объём шара, описанного около данной пирамиды.

Боковое ребро пирамиды равно \(a\), угол между боковым ребром и основанием \(\alpha\).

Если радиус шара \(r\), то объем:
\(V_{ш} = \frac{4}{3} \pi r^3\)

Объем шара, описанного около пирамиды, вычисляется по формуле:
\(V_{ш} = \frac{\pi a^3}{6 \sin^3 \alpha}\)

Для правильной пирамиды с боковым ребром \(a\) и углом \(\alpha\) между этим ребром и плоскостью основания, объем шара, описанного около такой пирамиды, связан с геометрическими параметрами фигуры. Важно учесть, что описанный шар касается всех вершин пирамиды, а его радиус выражается через ребро и угол.

Рассмотрим, что радиус описанного шара \(R\) можно выразить как \(R = \frac{a}{2 \sin \alpha}\). Это следует из свойств правильных пирамид: если провести высоту из вершины пирамиды на основание, то она делит боковое ребро пополам, а угол между ребром и основанием позволяет выразить радиус через тригонометрическую функцию.

Объем шара с радиусом \(R\) вычисляется по формуле \(V_{ш} = \frac{4}{3} \pi R^3\). Подставляя найденное выражение для радиуса, получаем: \(V_{ш} = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{a}{2 \sin \alpha} \right)^3\). Раскрывая скобки и упрощая, получаем окончательную формулу: \(V_{ш} = \frac{\pi a^3}{6 \sin^3 \alpha}\). Эта формула позволяет найти объем шара, описанного около правильной пирамиды, если известны длина бокового ребра и угол между ним и основанием.