ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.65 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагонали квадрата \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Через середину отрезка \(BO\) проведена прямая, параллельная диагонали \(AC\). Найдите отношение площадей фигур, на которые эта прямая разбивает квадрат \(ABCD\).

Пусть сторона квадрата равна \(a\). Диагонали делят квадрат на четыре равных треугольника. Точка \(O\) — центр квадрата, точка \(M\) — середина \(BO\). Прямая через \(M\), параллельная \(AC\), делит квадрат на две фигуры.

Площадь меньшей фигуры (треугольника) равна \(\frac{a^2}{7}\), площадь большей — \(\frac{6a^2}{7}\).

Отношение площадей: \(\frac{S_{\text{меньшая}}}{S_{\text{большая}}} = \frac{1}{7}\).

Пусть сторона квадрата \(ABCD\) равна \(a\). Его диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\), которая является центром квадрата. Диагонали делят квадрат на четыре равных треугольника, и длина каждой диагонали равна \(a\sqrt{2}\). Точка \(M\) — середина отрезка \(BO\), следовательно, координаты \(B\) будут \((0, a)\), \(O\) — \(\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)\), а \(M\) — середина этих точек, то есть \(M\left(\frac{a}{4}, \frac{3a}{4}\right)\).

Прямая, проходящая через \(M\) и параллельная диагонали \(AC\), будет иметь тот же наклон, что и \(AC\). Диагональ \(AC\) проходит через точки \(A(0, 0)\) и \(C(a, a)\), её уравнение \(y = x\). Прямая через \(M\) параллельна \(AC\), значит её уравнение: \(y — \frac{3a}{4} = 1 \cdot (x — \frac{a}{4})\), то есть \(y = x + \frac{a}{2}\).

Чтобы найти отношение площадей, на которые эта прямая делит квадрат, найдём точки пересечения этой прямой со сторонами квадрата. Подставляем \(x = 0\): \(y = 0 + \frac{a}{2} = \frac{a}{2}\) — точка на стороне \(AD\). Подставляем \(y = a\): \(a = x + \frac{a}{2} \Rightarrow x = a — \frac{a}{2} = \frac{a}{2}\) — точка на стороне \(BC\). Таким образом, прямая отсекает от квадрата треугольник с вершинами в точках \(A(0,0)\), \((0, \frac{a}{2})\) и \((\frac{a}{2}, a)\).

Площадь этого треугольника можно найти по формуле площади треугольника с координатами: \(S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right|\). Подставляем координаты: \(S = \frac{1}{2} \left| 0(\frac{a}{2} — a) + 0(a — 0) + \frac{a}{2}(0 — \frac{a}{2}) \right| = \frac{1}{2} \left| 0 + 0 — \frac{a^{2}}{4} \right| = \frac{a^{2}}{8}\).

Площадь квадрата \(a^{2}\), значит отношение площадей: \(\frac{\frac{a^{2}}{8}}{a^{2} — \frac{a^{2}}{8}} = \frac{1}{8} \div \frac{7}{8} = \frac{1}{7}\).