ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.66 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Окружность, центр которой принадлежит гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом \(a\), касается одного из катетов и проходит через вершину противолежащего ему острого угла. Найдите радиус этой окружности.

Пусть катет прямоугольного равнобедренного треугольника равен \(a\).

Радиус окружности, центр которой лежит на гипотенузе, касается одного из катетов и проходит через вершину противолежащего острого угла, равен:

\( r = a(2 — \sqrt{2}) \)

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник \(ABC\), где \(\angle C = 90^\circ\), а катеты \(AC = BC = a\). Гипотенуза \(AB\) равна \(a\sqrt{2}\). Центр окружности \(O\) лежит на гипотенузе \(AB\), а окружность касается катета \(AC\) и проходит через вершину \(B\).

Пусть радиус окружности равен \(r\). Точка касания окружности с катетом \(AC\) лежит на расстоянии \(r\) от \(AC\), а центр окружности \(O\) находится на гипотенузе. Поскольку окружность проходит через вершину \(B\), расстояние от \(O\) до \(B\) также равно \(r\).

Обозначим координаты: пусть \(A(0, a)\), \(C(0, 0)\), \(B(a, 0)\). Центр окружности \(O(x, y)\) лежит на гипотенузе \(AB\), уравнение которой: \(y = -x + a\). Так как окружность касается катета \(AC\), расстояние от \(O\) до \(AC\) равно \(r\), то есть \(x = r\). Окружность проходит через \(B(a, 0)\), значит \((x — a)^2 + y^2 = r^2\).

Подставим \(y = -x + a\) и \(x = r\):

\((r — a)^2 + (-r + a)^2 = r^2\)

Раскроем скобки:

\((r — a)^2 + (a — r)^2 = r^2\)

\(2(r — a)^2 = r^2\)

\(2(r^2 — 2ar + a^2) = r^2\)

\(2r^2 — 4ar + 2a^2 = r^2\)

\(2r^2 — r^2 — 4ar + 2a^2 = 0\)

\(r^2 — 4ar + 2a^2 = 0\)

Решим квадратное уравнение относительно \(r\):

\(r^2 — 4ar + 2a^2 = 0\)

\(r = \frac{4a \pm \sqrt{16a^2 — 8a^2}}{2}\)

\(r = \frac{4a \pm \sqrt{8a^2}}{2}\)

\(r = \frac{4a \pm 2a\sqrt{2}}{2}\)

\(r = 2a \pm a\sqrt{2}\)

Из геометрических соображений берём меньший корень:

\(r = 2a — a\sqrt{2} = a(2 — \sqrt{2})\)