ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.67 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Медианы грани \(ABC\) тетраэдра \(DABC\) пересекаются в точке \(O\). На ребре \(CD\) отмечена точка \(M\) так, что \(CM : MD = 3 : 1\). Выразите вектор \(OM\) через векторы \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\).

Вектор \(\overrightarrow{OM}\) выражается через векторы следующим образом:

\(
\overrightarrow{OM} = -\frac{1}{12}\overrightarrow{AE} — \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AD}
\)

В тетраэдре \(DABC\) точка \(O\) — это точка пересечения медиан грани \(ABC\). Медианы треугольника пересекаются в его центре тяжести, который делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Пусть \(E\) — середина \(AB\), тогда медиана \(CE\) пересекается с другими медианами в точке \(O\). Координаты точки \(O\) можно выразить через координаты вершин \(A\), \(B\) и \(C\) как \(O = \frac{1}{3}(A + B + C)\).

На ребре \(CD\) отмечена точка \(M\) так, что \(CM : MD = 3 : 1\). Это значит, что \(M\) делит \(CD\) в отношении \(3:1\) от \(C\) к \(D\). Тогда координаты \(M\) можно записать как \(M = \frac{1}{4}(D) + \frac{3}{4}(C)\).

Вектор \(\overrightarrow{OM}\) можно выразить как разность координат точек \(M\) и \(O\):
\(
\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM} = \left(\frac{1}{4}D + \frac{3}{4}C\right) — \frac{1}{3}(A + B + C)
\).
Раскрываем скобки и приводим подобные:
\(
\overrightarrow{OM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OD} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OC} — \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} — \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} — \frac{1}{3}\overrightarrow{OC}
\).
Собираем коэффициенты при \(\overrightarrow{OC}\): \(\frac{3}{4} — \frac{1}{3} = \frac{9}{12} — \frac{4}{12} = \frac{5}{12}\),
итого:
\(
\overrightarrow{OM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OD} + \frac{5}{12}\overrightarrow{OC} — \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} — \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}
\).
Далее, выражаем все через векторы, исходящие из одной точки, например, из \(A\):
\(
\overrightarrow{OM} = -\frac{1}{12}\overrightarrow{AE} — \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AD}
\).