ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 2.12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны точки \( A(5; -12; 7), B(0; y; 3), C(x; 17; -14), D(15; 0; z) \). При каких значениях \( x, y \) и \( z \) верно равенство \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \)?

Даны точки \(A(5; -12; 7)\), \(B(0; y; 3)\), \(C(x; 17; -14)\), \(D(15; 0; z)\). Векторы \(\overrightarrow{AB} = (-5; y+12; -4)\) и \(\overrightarrow{CD} = (15 — x; -17; z + 14)\). Приравниваем координаты: \(-5 = 15 — x\), \(y + 12 = -17\), \(-4 = z + 14\). Решаем: \(x = 20\), \(y = -19\), \(z = -18\).

Даны точки \(A(5; -12; 7)\), \(B(0; y; 3)\), \(C(x; 17; -14)\), \(D(15; 0; z)\). Чтобы найти координаты \(x\), \(y\), \(z\), при которых векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) равны, нужно сначала выразить эти векторы через координаты точек. Вектор \(\overrightarrow{AB}\) равен разности координат точки \(B\) и точки \(A\), то есть \(\overrightarrow{AB} = (0 — 5; y — (-12); 3 — 7) = (-5; y + 12; -4)\). Аналогично, вектор \(\overrightarrow{CD}\) равен разности координат точки \(D\) и точки \(C\), то есть \(\overrightarrow{CD} = (15 — x; 0 — 17; z — (-14)) = (15 — x; -17; z + 14)\).

Чтобы векторы были равны, должны совпадать все их координаты. Приравниваем соответствующие компоненты: первая компонента \(-5 = 15 — x\), вторая \(y + 12 = -17\), третья \(-4 = z + 14\). Решаем каждое уравнение по отдельности. Из первого уравнения получаем \(x = 15 + 5 = 20\). Из второго уравнения находим \(y = -17 — 2 = -19\). Из третьего уравнения следует \(z = -4 — 14 = -18\).

Таким образом, значения \(x = 20\), \(y = -19\), \(z = -18\) обеспечивают равенство векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\). Это значит, что при этих координатах вектор, направленный из точки \(A\) в точку \(B\), совпадает по направлению и длине с вектором, направленным из точки \(C\) в точку \(D\). Такое решение полностью удовлетворяет условию задачи и подтверждается корректным вычислением каждой координаты.