ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 2.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \( k \) векторы \( \overrightarrow{a} (4; k+3; 10) \) и \( \overrightarrow{b} (k; 4; k+9) \) имеют равные модули?

Равенство модулей: \( \sqrt{16 + k^2 + 6k + 9 + 100} = \sqrt{k^2 + 16 + k^2 + 18k + 81} \).

Квадраты модулей: \( k^2 + 6k + 125 = 2k^2 + 18k + 97 \).

Переносим все в одну сторону: \( k^2 + 12k — 28 = 0 \).

Дискриминант: \( D = 12^2 + 4 \cdot 28 = 144 + 112 = 256 = 16^2 \).

Корни: \( k_1 = \frac{-12 — 16}{2} = -14 \), \( k_2 = \frac{-12 + 16}{2} = 2 \).

Ответ: \( k = -14 \) или \( k = 2 \).

Для начала найдём модуль каждого вектора. Модуль вектора \( \overrightarrow{a} = (4; k+3; 10) \) вычисляется по формуле \( \sqrt{4^{2} + (k+3)^{2} + 10^{2}} \). Раскроем степени: \( 4^{2} = 16 \), \( (k+3)^{2} = k^{2} + 6k + 9 \), \( 10^{2} = 100 \). Складываем эти значения: \( 16 + k^{2} + 6k + 9 + 100 = k^{2} + 6k + 125 \). Значит, модуль вектора \( \overrightarrow{a} \) равен \( \sqrt{k^{2} + 6k + 125} \).

Теперь найдём модуль вектора \( \overrightarrow{b} = (k; 4; k+9) \). Модуль вычисляется как \( \sqrt{k^{2} + 4^{2} + (k+9)^{2}} \). Возводим в квадрат: \( k^{2} \) остаётся без изменений, \( 4^{2} = 16 \), \( (k+9)^{2} = k^{2} + 18k + 81 \). Складываем: \( k^{2} + 16 + k^{2} + 18k + 81 = 2k^{2} + 18k + 97 \). Модуль вектора \( \overrightarrow{b} \) равен \( \sqrt{2k^{2} + 18k + 97} \).

Приравниваем модули: \( \sqrt{k^{2} + 6k + 125} = \sqrt{2k^{2} + 18k + 97} \). Возводим обе части в квадрат, чтобы избавиться от корней: \( k^{2} + 6k + 125 = 2k^{2} + 18k + 97 \). Переносим все члены в одну сторону: \( 0 = 2k^{2} + 18k + 97 — k^{2} — 6k — 125 \), что упрощается до \( k^{2} + 12k — 28 = 0 \). Это квадратное уравнение.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант равен \( D = 12^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 144 + 112 = 256 \). Корни вычисляются по формуле \( k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = 12 \). Подставляем: \( k_1 = \frac{-12 — 16}{2} = -14 \), \( k_2 = \frac{-12 + 16}{2} = 2 \).

Таким образом, значения \( k \), при которых модули векторов равны, это \( k = -14 \) и \( k = 2 \).