ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 2.17 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите точку, являющуюся образом при параллельном переносе на вектор \( \overrightarrow{a} (6; -2; 3) \) точки:

1) \( M(5; -3; 7) \);

2) \( O(0; 0; 0) \);

3) \( K(-4; 0; 1) \).

Параллельное перенесение точки \(P(x;y;z)\) на вектор \(\overrightarrow{a}(a_x;a_y;a_z)\) даёт новую точку \(P'(x+a_x; y+a_y; z+a_z)\).

Для точки \(M(5;-3;7)\) образ: \(M'(5+6; -3-2; 7+3) = (11; -5; 10)\).

Для точки \(O(0;0;0)\) образ: \(O'(0+6; 0-2; 0+3) = (6; -2; 3)\).

Для точки \(K(-4;0;1)\) образ: \(K'(-4+6; 0-2; 1+3) = (2; -2; 4)\).

Параллельное перенесение — это преобразование, при котором каждая точка пространства смещается на один и тот же вектор. Если у нас есть вектор \(\overrightarrow{a}(6; -2; 3)\), то при переносе любой точки \(P(x; y; z)\) новая точка \(P’\) будет иметь координаты, полученные сложением исходных координат с координатами вектора: \(P'(x + 6; y — 2; z + 3)\). Это значит, что мы прибавляем к каждой координате точки соответствующую координату вектора переноса.

Рассмотрим первую точку \(M(5; -3; 7)\). При параллельном переносе на вектор \(\overrightarrow{a}\) её новая координата будет равна сумме каждой координаты \(M\) и соответствующей координаты вектора: \(M'(5 + 6; -3 — 2; 7 + 3)\). Считаем по отдельности: \(5 + 6 = 11\), \(-3 — 2 = -5\), \(7 + 3 = 10\). Итого образ точки \(M’\) — это точка с координатами \((11; -5; 10)\).

Для второй точки \(O(0; 0; 0)\) перенос на тот же вектор даёт новую точку \(O'(0 + 6; 0 — 2; 0 + 3)\). Здесь вычисляем: \(0 + 6 = 6\), \(0 — 2 = -2\), \(0 + 3 = 3\). Таким образом, образ точки \(O\) — точка \(O'(6; -2; 3)\). Аналогично для третьей точки \(K(-4; 0; 1)\) новая точка будет \(K'(-4 + 6; 0 — 2; 1 + 3)\), что даёт \(2; -2; 4\). Все эти вычисления показывают, что параллельное перенесение просто добавляет координаты вектора к координатам исходной точки.