ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 2.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите точку, являющуюся прообразом при параллельном переносе на вектор \(\overrightarrow{m} (-2; 1; -3)\) точки:

1) \(O (0; 0; 0)\);

2) \(C (-2; 1; -7)\).

При параллельном переносе на вектор \(\overrightarrow{m}(-2;1;-3)\) прообраз точки \(B(x’; y’; z’)\) находится по формуле \(A = B — \overrightarrow{m}\).

Для точки \(O(0;0;0)\) прообраз:
\(A = (0 — (-2); 0 — 1; 0 — (-3)) = (2; -1; 3)\).

Для точки \(C(-2;1;-7)\) прообраз:
\(A = (-2 — (-2); 1 — 1; -7 — (-3)) = (0; 0; -4)\).

Ответ:
1) \((2; -1; 3)\)
2) \((0; 0; -4)\)

Параллельный перенос точки на вектор \(\overrightarrow{m}(-2; 1; -3)\) означает, что к координатам исходной точки \(A(x; y; z)\) прибавляется соответствующая компонента вектора. Если после переноса получается точка \(B(x’; y’; z’)\), то связь между координатами задаётся формулами: \(x’ = x — 2\), \(y’ = y + 1\), \(z’ = z — 3\). Чтобы найти прообраз точки \(B\), то есть исходную точку \(A\), нужно из координат \(B\) вычесть координаты вектора \(\overrightarrow{m}\), то есть \(A = B — \overrightarrow{m}\).

Для точки \(O(0; 0; 0)\) вычисляем прообраз \(A\) по формуле: \(A = (0 — (-2); 0 — 1; 0 — (-3))\). Это даёт координаты \(A = (2; -1; 3)\). Таким образом, чтобы получить точку \(O\) после параллельного переноса на вектор \(\overrightarrow{m}\), исходная точка должна иметь координаты \(2\) по оси \(x\), \(-1\) по оси \(y\) и \(3\) по оси \(z\).

Для точки \(C(-2; 1; -7)\) аналогично находим прообраз: \(A = (-2 — (-2); 1 — 1; -7 — (-3))\). Это даёт \(A = (0; 0; -4)\). Значит, исходная точка, которая при переносе на вектор \(\overrightarrow{m}\) переходит в точку \(C\), имеет координаты \(0\), \(0\) и \(-4\) соответственно. Таким образом, параллельный перенос на заданный вектор позволяет однозначно определить исходные точки по известным образам.