ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 2.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны координаты трёх вершин параллелограмма \(ABCD\): \(A (10; -8; -1)\), \(C (-2; 4; 4)\) и \(D (11; -20; 10)\). Используя векторы, найдите координаты вершины \(B\).

Для параллелограмма \(ABCD\) выполняется равенство \( \vec{A} + \vec{C} = \vec{B} + \vec{D} \).

Отсюда \( \vec{B} = \vec{A} + \vec{C} — \vec{D} \).

Подставляем координаты: \( B_x = 10 + (-2) — 11 = -3 \), \( B_y = -8 + 4 — (-20) = 16 \), \( B_z = -1 + 4 — 10 = -7 \).

Ответ: \( B(-3; 16; -7) \).

В параллелограмме \(ABCD\) диагонали пересекаются в одной точке и делятся пополам, что означает, что сумма координат противоположных вершин равна. То есть векторы вершин \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) связаны равенством \( \vec{A} + \vec{C} = \vec{B} + \vec{D} \). Это свойство позволяет найти координаты неизвестной вершины \(B\), если известны остальные три.

Чтобы найти координаты точки \(B\), нужно из суммы векторов \(A\) и \(C\) вычесть вектор \(D\). Формула для координат вершины \(B\) будет выглядеть так: \( \vec{B} = \vec{A} + \vec{C} — \vec{D} \). Распишем по координатам: \( B_x = A_x + C_x — D_x \), \( B_y = A_y + C_y — D_y \), \( B_z = A_z + C_z — D_z \).

Подставляем данные: \( A(10; -8; -1) \), \( C(-2; 4; 4) \), \( D(11; -20; 10) \). Тогда \( B_x = 10 + (-2) — 11 = -3 \), \( B_y = -8 + 4 — (-20) = -8 + 4 + 20 = 16 \), \( B_z = -1 + 4 — 10 = -7 \). Таким образом, координаты вершины \(B\) равны \( (-3; 16; -7) \).