ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 2.23 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Модуль вектора \(\overrightarrow{c} (x; y; z)\) равен 9, его координаты \(x\) и \(z\) равны, а координаты \(x\) и \(y\) — противоположные числа. Найдите координаты вектора \(\overrightarrow{c}\).

Вектор \(\overrightarrow{c} = (x, y, z)\), где \(x = z\) и \(y = -x\).

Модуль вектора равен 9, значит \(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 9\).

Подставляем \(y = -x\) и \(z = x\), получаем \(\sqrt{x^2 + (-x)^2 + x^2} = \sqrt{3x^2} = 9\).

Возводим в квадрат: \(3x^2 = 81\).

Отсюда \(x^2 = \frac{81}{3} = 27\), значит \(x = \pm 3\sqrt{3}\).

Координаты вектора: \((3\sqrt{3}, -3\sqrt{3}, 3\sqrt{3})\) или \((-3\sqrt{3}, 3\sqrt{3}, -3\sqrt{3})\).

Вектор \(\overrightarrow{c}\) задан координатами \((x, y, z)\), при этом известно, что \(x = z\) и \(y = -x\). Это значит, что второй компонент вектора равен отрицательному значению первого, а третий компонент совпадает с первым. Таким образом, можно переписать вектор в виде \(\overrightarrow{c} = (x, -x, x)\).

Далее, нам дан модуль (длина) этого вектора, равный 9. По определению длина вектора в трёхмерном пространстве вычисляется по формуле \(\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\). Подставляя выражения для \(y\) и \(z\), получаем \(\sqrt{x^{2} + (-x)^{2} + x^{2}} = \sqrt{3x^{2}}\). Это можно упростить до \(\sqrt{3} \cdot |x|\).

Зная, что длина вектора равна 9, приравниваем: \(\sqrt{3} \cdot |x| = 9\). Возводим обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня: \(3x^{2} = 81\). Отсюда \(x^{2} = \frac{81}{3} = 27\), и следовательно \(x = \pm 3\sqrt{3}\). Подставляя найденное значение обратно в координаты, получаем два возможных варианта вектора: \((3\sqrt{3}, -3\sqrt{3}, 3\sqrt{3})\) и \((-3\sqrt{3}, 3\sqrt{3}, -3\sqrt{3})\).