ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 2.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

По одну сторону от центра окружности проведены две параллельные хорды длиной 30 см и 48 см. Найдите расстояние между хордами, если радиус окружности равен 25 см.

Дано: радиус \( R = 25 \), хорды \( CD = 48 \), \( AB = 30 \).

Расстояние от центра до хорды \( CD \): \( OM = \sqrt{25^2 — \left(\frac{48}{2}\right)^2} = \sqrt{625 — 576} = 7 \).

Расстояние от центра до хорды \( AB \): \( ON = \sqrt{25^2 — \left(\frac{30}{2}\right)^2} = \sqrt{625 — 225} = 20 \).

Расстояние между хордами: \( MN = OM + ON = 7 + 20 = 27 \).

Рассмотрим окружность с радиусом \( R = 25 \) и две параллельные хорды длиной \( CD = 48 \) и \( AB = 30 \). Чтобы найти расстояние между этими хордами, сначала определим расстояния от центра окружности до каждой из них. Это расстояние равно перпендикуляру, опущенному из центра на хорду.

Для хорды \( CD \) её половина равна \( \frac{48}{2} = 24 \). В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, половиной хорды и перпендикуляром от центра к хорде, применяем теорему Пифагора. Расстояние от центра до хорды \( OM \) вычисляется как \( OM = \sqrt{R^2 — \left(\frac{CD}{2}\right)^2} = \sqrt{25^2 — 24^2} = \sqrt{625 — 576} = \sqrt{49} = 7 \).

Аналогично для хорды \( AB \) её половина равна \( \frac{30}{2} = 15 \). Расстояние от центра до хорды \( ON \) вычисляется по формуле \( ON = \sqrt{R^2 — \left(\frac{AB}{2}\right)^2} = \sqrt{25^2 — 15^2} = \sqrt{625 — 225} = \sqrt{400} = 20 \).

Поскольку хорды параллельны и находятся по одну сторону от центра, расстояние между ними равно сумме этих двух расстояний: \( MN = OM + ON = 7 + 20 = 27 \). Таким образом, искомое расстояние между хордами равно 27.